Дано дві коробки правильної чотирикутної призми. Правильна чотирикутна призма. Краса цього математичного завдання - не тільки знати результат, а й зрозуміти, чому ця стратегія працює

У 13 завданні ЄДІ базового рівня ми матимемо справу із завданнями зі стереометрії, але не абстрактними, а наочними прикладами. Це можуть бути завдання на рівень рідини в судинах, яку я розібрав нижче, або завдання на модифікації фігури — наприклад, у якої відрізали вершини. Потрібно бути готовим до вирішення простих задач по стереометрії - вони зазвичай зводяться відразу до завдань на площині, необхідно лише правильно подивитися на креслення.

Розбір типових варіантів завдань №13 ЄДІ з математики базового рівня

Варіант 13МБ1

Вода в посудині циліндричної форми знаходиться на рівні h = 80 см. На якому рівні опиниться вода, якщо її перелити в іншу циліндричну посудину, у якої радіус основи в 4 рази більший, ніж у цього? Відповідь дайте у сантиметрах.

Алгоритм виконання:

1. Записати формулу об'єму циліндра.
2. Підставити значення для циліндра з рідиною у першому та другому випадку.
3. Отримане рівняння розв'язати щодо другої висоти h 2 .
4. Підставити дані та обчислити шукану величину.

Рішення:

Запишемо формулу об'єму циліндра.

Якщо ви забули формулу об'єму циліндра, нагадаю, як її можна легко вивести. Об'єм простих фігур, таких як куб і циліндр, можна обчислити помноживши площу основи на висоту. Площа основи у випадку з циліндром дорівнює площі кола, яку, напевно, пам'ятаєте: π r 2 .

Отже, об'єм циліндра дорівнює π r 2 h

Підставимо значення для циліндра з рідиною в першому та у другому випадку.

V 1 = π r 1 2 h 1

V 2 = π r 2 2 h 2

Об'єм рідини не змінювався, отже, можна прирівняти обсяги.

Ліві частини рівні, отже, можна прирівняти і праві.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

Отримане рівняння розв'яжемо щодо другої висоти h 2 .

h 2 – невідомий множник. Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на відомий множник.

h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2

За умовою площа основи стала в 4 рази більшою, тобто r 2 = 4 r 1 .

Підставимо r 2 = 4 r 1 вираз для h 1.

Отримаємо: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Отриманий дріб скоротимо на π, отримаємо h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Отриманий дріб скоротимо на r 1 отримаємо h 2 = h 1 / 16.

Підставимо відомі дані: h 2 = 80/16 = 5 см.

Варіант 13МБ2

Дано дві коробки, що мають форму правильної чотирикутної призми. Перша коробка в чотири з половиною рази вища за другу, а друга втричі ширша за першу. У скільки разів об'єм першої коробки менший за об'єм другої?

Алгоритм виконання:

1. Знайти відношення обсягів.
2. Скоротити дроб, що вийшов.

Рішення:

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Знайдемо відношення обсягів.

За умовою c 1 = 4,5 c 2 (перша коробка в чотири з половиною рази вище за другу),

b 2 = 3 b 1 (друга коробка втричі ширша за першу).

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5 c 2) / (9a 1 · b 1 · c 2) = 4,5/9 = ½.

Об'єм першої коробочки в 2 рази менший за об'єм другої.

Варіант 13МБ3

Дано дві коробки, що мають форму правильної чотирикутної призми. Перша коробка в півтора рази вища за другу, а друга втричі ширша за першу. У скільки разів об'єм першої коробки менший за об'єм другої?

Алгоритм виконання:

1. Записати формулу для обчислення об'єму правильної чотирикутної призми.
2. Записати у загальному вигляді формулу для знаходження обсягу у першому та другому випадку.
3. Знайти відношення обсягів.
4. Перетворити отриманий вираз з урахуванням співвідношення вимірів першої та другої призми.
5. Скоротити дроб, що вийшов.

Рішення:

Запишемо формулу для обчислення об'єму правильної чотирикутної призми.

Запишемо у загальному вигляді формулу для знаходження обсягу у першому та другому випадку.

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Знайдемо відношення обсягів.

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1) / (a ​​2 · b 2 · c 2)

Перетворимо отриманий вираз з урахуванням співвідношення вимірів першої та другої призми.

За умовою c 1 = 1,5 c 2 (перша коробка в півтора рази вище за другу), b 2 = 3 b 1 (друга коробка втричі ширша за першу).

Так як це правильні чотирикутні призми, то в основі лежить квадрат, а значить глибина другої коробки теж утричі більша за глибину першої, тобто a 2 = 3 a 1

Підставимо ці вирази у формулу відношення обсягів:

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

Скоротимо дроб, що вийшов на a 1 · b 1 · c 2 . Отримаємо:

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 1,5 c 2) / (9a 1 · b 1 · c 2) = 1,5 / 9 = 15 / (10 · 9) = 3 / (2 · 9 ) = 1/(2 · 3) = 1/6.

Об'єм першої коробочки в 6 разів менший за об'єм другої.

Відповідь:6.

Варіант 13МБ4

Від дерев'яного кубика відпилили всі його вершини (рис.). Скільки граней у багатогранника, що вийшов (невидимі ребра на малюнку не зображені)?

Спочатку згадаємо скільки всього граней та вершин у куба: шість граней та вісім вершин. Тепер на місці кожної вершини утворюється нова грань після відпилу, значить у модифікованого в завданні куба шість рідних граней та вісім нових (після відпилу). Разом отримуємо: 6 + 8 = 14 граней.

Якби нас запитали, скільки вершин у нового «куба». Очевидно, якщо замість однієї стає три, а їх вісім, то отримуємо: 8 3 = 24

Варіант 13МБ5

Дано два циліндри. Радіус основи і висота першого циліндра дорівнює відповідно 2 і 6, а другого – 6 і 4. У скільки разів об'єм другого циліндра більший за об'єм першого?

Алгоритм виконання

1. Записуємо ф-лу для обчислення об'єму циліндра.
2. Вводимо позначення для радіусу основи та висоти 1-го циліндра. Висловлюємо аналогічно параметри 2-го циліндра.
3. Формуємо формули для об'єму 1-го та 2-го циліндрів.
4. Обчислюємо відношення обсягів.

Рішення:

Об'єм циліндра дорівнює: V=πR 2 H. Позначимо радіус основи 1-го циліндра через R 1 , яке висоту – через Н 1 . Відповідно, радіус основи 2-го циліндра позначимо через R 2 а висоту - через Н 2 .

Звідси отримаємо: V 1 =πR 1 2 H 1 , V 2 =πR 2 2 H 2.

Запишемо шукане відношення обсягів:

.

Підставляємо в отримане відношення числові дані:

.

Висновок: об'єм 2-го циліндра більший за об'єм 1-го в 6 разів.

Варіант 13МБ6

У бак, що має форму прямої призми, налито 5 л води. Після повного занурення у воду деталі рівень води у баку піднявся у 1,4 раза. Знайдіть обсяг деталі. Відповідь дайте у кубічних сантиметрах, знаючи, що в одному літрі 1000 кубічних сантиметрів.

Алгоритм виконання

1. Вводимо позначення для обсягу до занурення деталі та після. Нехай це буде відповідно V 1і V 2.
2. Фіксуємо значення для V 1. Висловлюємо V 2через V 1. Знаходимо значення V 2.
3. Перекладаємо результат, отриманий у літрах, куб.см.

Рішення:

Об'єм бака до занурення V 1=5 (л). Т.к. після занурення деталі обсяг став рівним V 2. Згідно з умовою, збільшення становило 1,4 рази, тому V 2=1,4V 1.

Звідси отримуємо: V 2= 1,4 · 5 = 7 (л).

Т.ч., різниця обсягів, яка і становить обсяг деталі, дорівнює:

V 2 -V 1= 7-5 = 2 (л).

2 л = 2 · 1000 = 2000 (куб.см).

Варіант 13МБ7

Вода в посудині циліндричної форми знаходиться на рівні h=80 см. На якому рівні опиниться вода, якщо її перелити в іншу циліндричну посудину, у якої радіус основи вдвічі більший, ніж у першої? Відповідь дайте у сантиметрах.

Алгоритм виконання

1. Записуємо ф-лу для розрахунку об'єму циліндра.
2. На підставі цієї формули записуємо 2 рівняння – для обчислення об'єму води в 1-му та 2-му судинах. Для цього використовуємо у формулі відповідні індекси 1 та 2.
3. Оскільки воду просто переливають їх однієї судини в іншу, то її обсяг не змінюється. Тому прирівнюємо отримані рівняння. З отриманого єдиного рівняння знаходимо рівень води у 2-му посудині, виражений заввишки h 2.

Рішення:

Об'єм циліндра дорівнює: V=S осн h=πR 2 h.

Об'єм води в 1-й посудині: V 1 =πR 1 2 h 1.

Об'єм у 2-й посудині: V 2 =πR 2 2 h 2.

Прирівнюємо V 1і V 2: πR 1 2 h 1 =πR 2 2 h 2.

Скорочуємо на π, висловлюємо h 2:

.

За умовою R 2=2R 1. Звідси:

Варіант 13МБ8

Від дерев'яної правильної трикутної призми відпилили її вершини (див. рис.). Скільки вершин у багатогранника, що вийшов (невидимі ребра на малюнку не зображені)?

Алгоритм виконання

1. Визначаємо кількість вершин біля трикутної призми.
2. Аналізуємо зміни, які відбудуться при відпилюванні всіх вершин. Підраховуємо кількість вершин у нового багатогранника.

Рішення:

Вершини призми формують вершини основ (верхньої та нижньої). Оскільки основами правильної трикутної призми є правильні трикутники, то вершин такий призми 3·2=6 штук.

Спиливши вершини призми, отримаємо замість них невеликі (порівняно з розмірами самої призми) трикутники. Це відображено на малюнку. Тобто замість кожної вершини утворюється 3 нових. Отже, їх кількість стане рівним: 6 · 3 = 18.

Варіант 13МБ9

Дано дві коробки, що мають форму правильної чотирикутної призми, що стоїть на підставі. Перша коробка в чотири з половиною рази нижча за другу, а друга друга вже перша. У скільки разів об'єм першої коробки більший за об'єм другої?

Алгоритм виконання

1. Вводимо позначення для лінійних параметрів коробок та їх обсягів.
2. Визначаємо залежність лінійних параметрів згідно з умовою.
3. Записуємо формулу для обчислення обсягу призми.
4. Адаптуємо цю формулу обсягів коробок.
5. Знаходимо відношення обсягів.

Рішення:

Т.к. форма коробок - правильна призма, то в їх основі лежать квадрати. Тому можемо позначити довжину та ширину кожної коробки однаково. Нехай для першої коробки це а 1, а для другої а 2. Висоти коробок позначимо відповідно h 1і h 2. Обсяги – V 1і V 2.

Згідно з умовою, h 2=4,5h 1, а 1=3а 2.

Обсяг призми дорівнює: V=S осн h. Т.к. в основі коробок лежить квадрат, то S осн = а 2. Звідси: V=a 2 h.

Для 1-ї коробки маємо: V 1 =a 1 2 h 1. Для 2-ї коробки: V 2 =a 2 2 h 2.

Тоді отримуємо відношення:

Варіант 13МБ10

У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає ½ висоти. Об'єм судини 1600 мл. Чому дорівнює обсяг налитої рідини? Відповідь дайте у мілілітрах.

Алгоритм виконання

1. Доводимо, що дані за умови конуси подібні.
2. Визначаємо коефіцієнт подібності.
3. Використовуючи властивість для обсягів подібних тіл, знаходимо об'єм рідини.

Рішення:

Якщо розглядати переріз конуса за двома його протилежно розташованим утворюючим (осьовий переріз), то бачимо, що отримані таким способом трикутники великого конуса і малого (утвореного рідиною) подібні. Це випливає з рівності їх кутів. Тобто. маємо: у конусів подібні висоти та радіуси основи. Звідси робимо висновок: т.к. лінійні параметри конусів подібні, те й конуси подібні.

За умовою висота малого конуса (рідини) становить ½ висоти конуса. Значить, коефіцієнт подібності малого і великого конусів дорівнює?

Застосовуємо св-во подібності тіл, яке у тому, їх обсяги ставляться як коефіцієнт подоби у кубі. Позначимо об'єм великого конуса V 1, малого – V 2. Отримаємо:

.

Оскільки за умовою V 1=1600 мл, то V 2= 1600/8 = 200 мл.

Варіант 13МБ11

Дано дві кулі з радіусами 4 і 1. У скільки разів об'єм більшої кулі більший за об'єм меншої?

Алгоритм виконання

1. Записуємо формулу для обчислення об'єму кулі.
2. Адаптуємо формулу для кожної з куль. Для цього використовуємо індекси 1 та 2.
3. Записуємо відношення обсягів, обчислюємо його, підставивши числові дані з умови.

Рішення:

Об'єм кулі обчислюється за ф-ле: .

Звідси обсяг 1-ї (великої) кулі дорівнює , 2-ї (меншої) кулі – .

Складемо відношення обсягів:

Підставляємо в отриману формулу числові дані з умови:

Висновок: обсяг більшої кулі в 64 рази більший.

Варіант 13МБ12

Дано два циліндри. Радіус основи і висота першого циліндра дорівнює відповідно 4 і 18, а другого – 2 і 3. У скільки разів площа бічної поверхні першого циліндра більша за площу бічної поверхні другого?

Алгоритм виконання

1. Записуємо формулу для визначення площі бок.поверхні циліндра.
2. Переписуємо її двічі з використанням відповідних індексів – для 1-го (більшого) та 2-го (меншого) циліндрів.
3. Знаходимо відношення площ. Обчислюємо відносини, використовуючи числові дані з умови.

Рішення:

Площа бок.поверхні циліндра обчислюється так: S=2πRH.

Для одного циліндра маємо: S 1 =2π R 1 H 1. Для 2-го циліндра: S 2 =2π R 2 H 2.

Складемо відношення цих площ:

Знайдемо числове значення отриманого відношення:

Висновок: площа бічної поверхні 1-го циліндра більша у 12 разів.

Варіант 13МБ13

Однорідна куля діаметром 3 см важить 162 грами. Скільки грамів важить куля діаметром 2 см, виготовлена ​​з того ж матеріалу?

Алгоритм виконання

1. Записуємо формулу визначення маси більшого куль через щільність і обсяг.
2. Обсяг у цій формулі розписуємо через ф-лу об'єму кулі (через її радіус).
3. Записуємо ф-лу для маси меншої кулі, розписуємо об'єм через радіус (за аналогією з пп.1 та 2).
4. Оскільки обидві кулі виготовлені з того самого матеріалу, то знайдене значення для щільності можемо використовувати у ф-ле для маси меншої кулі. Обчислюємо потрібну масу.

Рішення:

Маса більшої (1-ї) кулі дорівнює: m 1 =ρ V 1. Обсяг цієї кулі складає V 1 = У бак, що має форму правильної чотирикутної призми зі стороною основи, що дорівнює 40 см, налита рідина. Щоб виміряти об'єм деталі складної форми, її повністю занурюють у цю рідину. Знайдіть об'єм деталі, якщо після її занурення рівень рідини в баку піднявся на 10 см. Дайте відповідь у кубічних сантиметрах.

Алгоритм виконання

1. Визначаємо частину призми, що відповідає обсягу зануреної деталі.
2. Обчислюємо об'єм деталі на підставі формули для визначення обсягу прямої призми з квадратом на підставі.

Рішення:

Занурена в рідину деталь займає об'єм, що відповідає стовпу рідини, висота якого дорівнює 10 см, тобто. різниці, що виникла між початковою висотою рідини та кінцевою (після занурення). Це означає, що деталь має об'єм, що дорівнює частині рідини, що займає об'єм 40х40х10 (см).

Знайдемо цей обсяг.

Яку я знайшов на сайті компанії DataGenetics. Усі помилки за цією статтею надсилайте, будь ласка, в особисті повідомлення.

У цьому в'язниці сидять 100 ув'язнених, кожен з яких пронумерований числами від 1 до 100. Тюремник вирішує дати шанс ув'язненим на звільнення, він розповідає їм умови випробування, і якщо всі ув'язнені пройдуть тест, тоді вони будуть звільнені. Якщо хоча б один із них провалить тест, то всі ув'язнені помруть.

Завдання

Тюремник йде до секретної кімнати та готує 100 коробок з кришками. На кожну коробку він наносить числа з нумерацією від 1 до 100. Потім він приносить 100 паперових табличок, за кількістю ув'язнених, і нумерує ці таблички від 1 до 100. Після цього він перемішує 100 табличок і поміщає в кожну коробку по одній табличці, . Ув'язнені не бачать, як тюремник виконує всі ці дії.

Змагання починається, тюремник відводить кожного ув'язненого по одному в кімнату з коробками і каже ув'язненим, що вони повинні знайти коробку, в якій буде табличка з номером ув'язненого. Ув'язнені намагаються знайти табличку зі своїм номером, відкриваючи коробки. Кожному дозволяється відкрити до 50 коробок; якщо кожен із ув'язнених знайде свій номер, то ув'язнених відпустять, якщо хоча б один із них не знайде свій номер за 50 спроб, то всі ув'язнені помруть.

Для того, щоб ув'язнених було звільнено, ВСІ ув'язнені мають пройти випробування успішно.

То який же шанс, що в'язнів помилують?

• Після відкриття коробки ув'язненим та перевірки ним таблички вона поміщається назад у коробку і кришка знову закривається;
• Місцями таблички міняти не можна;
• В'язні не можуть залишати один одному підказки або взаємодіяти один з одним після початку випробування;
• Ув'язненим дозволяється обговорити стратегію на початок випробування.

Яка оптимальна стратегія для ув'язнених?

Додаткове питання:

Якщо товариш ув'язнених (не учасник випробування) матиме можливість проникнути в секретну кімнату до початку випробування, вивчити всі таблички у всіх коробках і (за бажанням, але не обов'язково) поміняти місцями дві таблички з двох коробок (при цьому у товариша не буде можливості як повідомити ув'язненим про результат своїх дій), то яку стратегію він має зробити, щоб збільшити шанси ув'язнених на порятунок?

Рішення малоймовірне?

З першого погляду це завдання здається майже безнадійним. Здається, що шанс на перебування кожним із ув'язнених своєї таблички мікроскопічно малий. До того ж, ув'язнені не можуть обмінюватися інформацією між собою у процесі випробування.

Шанси одного в'язня – 50:50. Всього 100 коробок і він може відкрити до 50 коробок у пошуках своєї таблички. Якщо він відкриватиме коробки навмання і відкриє половину всіх коробок, то знайде свою табличку у відкритій половині коробок, або її табличка залишиться в закритих 50 коробках. Його шанси на успіх – ½.

Візьмемо двох ув'язнених. Якщо обидва вибирають коробки навмання, для кожного шанси будуть ½, а для двох ½x½=¼.
(Для двох ув'язнених успіх буде в одному випадку з чотирьох).

Для трьох ув'язнених шанси будуть ½ × ½ × ½ = ⅛.

Для 100 ув'язнених шанси наступні: ½ × ½ × … ½ × ½ (перемноження 100 разів).

Це дорівнює

Pr ≈ 0.000000000000000000000000000008

Тобто, це дуже маленький шанс. За такого розкладу, швидше за все, всі ув'язнені будуть мертві.

Неймовірна відповідь

Якщо кожен ув'язнений відкриватиме ящики навмання, то навряд чи вони пройдуть випробування. Існує стратегія, за якої ув'язнені можуть розраховувати на успіх більш ніж у 30% випадків. Це надзвичайно неймовірний результат (якщо ви не чули про це математичне завдання раніше).

Більше 30% для всіх 100 ув'язнених! Та це навіть більше, ніж шанси для двох ув'язнених, за умови, що ті відкриватимуть ящики навмання. Але як це можливо?

Зрозуміло, що по одному у кожного ув'язненого шанси не можуть бути вищими за 50% (адже немає способу спілкування між ув'язненими). Але не варто забувати, що інформація зберігається в розташуванні табличок усередині коробок. Ніхто не перемішує таблички між відвідуваннями кімнати окремими ув'язненими, тому ми можемо використовувати цю інформацію.

Рішення

Спочатку розповім рішення, потім роз'ясню, чому воно працює.

Стратегія вкрай легка. Перший із ув'язнених відкриває коробку з номером, який написаний на його одязі. Наприклад, ув'язнений номер 78 відкриває коробку з номером 78. Якщо він знаходить свій номер на табличці всередині коробки, то це чудово! Якщо ні, то він дивиться номер на табличці у своїй коробці і потім відкриває наступну коробку з цим номером. Відкривши другу коробку, він дивиться номер таблички всередині цієї коробки та відкриває третю коробку з цим номером. Далі просто переносимо цю стратегію на ящики, що залишилися. Для наочності дивимося картинку:

Зрештою, ув'язнений або знайде свій номер, або дійде до 50 коробок. На перший погляд, це виглядає безглуздо, в порівнянні з простим вибором коробки навмання (і для одного окремого в'язня це так), але так як всі 100 ув'язнених будуть використовувати той же набір коробок, це має сенс.

Краса цього математичного завдання - не тільки знати результат, але й зрозуміти, чомуця стратегія працює.

То чому ж стратегія працює?

У кожній коробці по одній табличці – і ця табличка унікальна. Це означає, що табличка знаходиться в коробці з тим самим номером, або вона вказує на іншу коробку. Так як всі таблички унікальні, то для кожної коробки є тільки одна табличка, що вказує на неї (і всього один шлях, як дістатися цієї коробки).

Якщо подумати над цим, то коробки утворюють замкнутий круглий ланцюжок. Одна коробка може бути частиною лише одного ланцюжка, тому що всередині коробки лише один покажчик на наступну і, відповідно, у попередній коробці лише один покажчик на дану коробку (програмісти можуть побачити аналогію зі зв'язаними списками).

Якщо коробка не вказує на себе (номер коробки дорівнює номеру таблички в ній), то вона буде в ланцюжку. Деякі ланцюжки можуть складатися з двох коробок, деякі довші.

Оскільки всі ув'язнені починають із коробки з тим самим номером, що й на їхньому одязі, вони, за визначенням, потрапляють на ланцюжок, який містить їхню табличку (є лише одна табличка, яка вказує на цю коробку).

Досліджуючи коробки по цьому ланцюжку по колу, вони гарантовано зрештою знайдуть свою табличку.

Єдине питання залишається у тому, чи знайдуть вони свою табличку за 50 ходів.

Довжина ланцюжків

Для того, щоб усі ув'язнені пройшли випробування, максимальна довжина ланцюжка повинна бути меншою, ніж 50 коробок. Якщо ланцюжок довше, ніж 50 коробок, ув'язнені, що мають номери з цих ланцюжків, провалять випробування - і всі ув'язнені будуть мертві.

Якщо максимальна довжина найдовшого ланцюжка менша, ніж 50 коробок, тоді всі ув'язнені пройдуть випробування!

Подумайте про це на секунду. Виходить, що може бути тільки один ланцюжок, який довший за 50 коробок при будь-якому розкладі табличок (у нас всього 100 коробок, так що якщо один ланцюжок довший за 50, то решта буде коротшою, ніж 50 в результаті).

Шанси на розклад з довгим ланцюжком

Після того, як ви переконали себе, що для досягнення успіху максимальна довжина ланцюга має бути меншою або дорівнює 50, і може бути тільки один довгий ланцюжок у будь-якому наборі, ми можемо обчислити ймовірність успіху проходження випробування:

Ще трохи математики

Отже, що нам потрібно, щоб з'ясувати ймовірність існування довгого ланцюжка?

Для ланцюжка з довжиною l, ймовірність того, що коробки будуть поза цим ланцюжком одно:

У цій колекції чисел існує (l-1)! способів розташувати таблички.

Таблички, що залишилися, можуть бути розташовані (100-l)! методами (не забуваємо, що довжина ланцюжка вбирається у 50).

З огляду на це число перестановок, які містять ланцюжок точної довжини l: (>50)

Виходить, є 100(!) способів розкладок табличок, тому ймовірність існування ланцюжка довжиною l дорівнює 1/l. До речі, цей результат залежить від кількості коробок.

Як ми вже знаємо, може бути тільки один варіант, при якому існує ланцюжок довжиною > 50, так що ймовірність успіху розраховується за цією формулою:

Результат

31.18% - ймовірність того, що розмір найдовшого ланцюжка буде меншим за 50 і кожен із ув'язнених зможе знайти свою табличку, враховуючи ліміт у 50 спроб.

Імовірність того, що всі ув'язнені знайдуть свої таблички та пройдуть випробування 31.18%

Нижче наведено графік, що показує ймовірності (осі ординат) для всіх ланцюгів довжини l (на осі абсцис). Червоний колір означає всі "невдачі" (дана крива тут - це просто графік 1/l). Зелений колір означає «успіх» (розрахунок трохи складніший для цієї частини графіка, оскільки існує кілька способів визначення максимальної довжини<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Гармонійне число (ця частина статті для гіків)

У математиці n-м гармонійним числом називається сума обернених величин перших n послідовних чисел натурального ряду.

Порахуємо ліміт, якщо замість 100а коробок ми маємо довільну велику кількість коробок (давайте вважати, що у нас є 2n коробок у результаті).

Постійна Ейлера-Маскероні - константа, що визначається як межа різниці між частковою сумою гармонійного ряду та натуральним логарифмом числа.

Оскільки кількість ув'язнених збільшується, то за умови, якщо наглядач дозволяє ув'язненим відкривати половину всіх коробок, то шанс на порятунок прагне 30.685%.

(Якщо ви ухвалили рішення, при якому ув'язнені випадково вгадують коробки, то зі збільшенням кількості ув'язнених ймовірність порятунку прагне нуля!)

Додаткове питання

Хтось ще пам'ятає про додаткове запитання? Що може зробити наш корисний товариш, щоби збільшити шанси на виживання?

Зараз ми вже знаємо рішення, так що стратегія тут проста: він повинен вивчити всі таблички і знайти найдовший ланцюжок із коробок. Якщо найдовший ланцюжок менше 50-ти, то йому взагалі не потрібно міняти таблички, або поміняти їх так, щоб найдовший ланцюжок не став довшим за 50-ти. Тим не менш, якщо він знайшов ланцюжок довше 50 коробок, все, що йому потрібно - це поміняти вміст двох коробок з цього ланцюга, щоб розбити цей ланцюжок на два короткі ланцюги.

В результаті цієї стратегії не буде довгих ланцюжків і всі ув'язнені гарантовано знайдуть свою табличку та порятунок. Отже, помінявши місцями дві таблички, ми зводимо можливість порятунку до 100%!

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній трикутній призмі ABCA_1B_1C_1 сторони основи дорівнюють 4 , а бічні ребра дорівнюють 10 . Знайдіть площу перерізу призми площиною, що проходить через середини ребер AB, AC, A_1B_1 та A_1C_1.

Показати рішення

Рішення

Розглянемо наступний рисунок.

Відрізок MN є середньою лінією трикутника A_1B_1C_1, тому MN = \frac12 B_1C_1=2.Аналогічно, KL=\frac12BC=2.Крім того, MK = NL = 10. Звідси випливає, що чотирикутник MNLK є паралелограмом. Так як MK parallel AA_1, то MK perp ABC і MK perp KL. Отже, чотирикутник MNLK є прямокутником. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10 \ cdot 2 = 20.

Відповідь

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Об'єм правильної чотирикутної призми ABCDA_1B_1C_1D_1 дорівнює 24 . Крапка K - середина ребра CC_1. Знайдіть обсяг піраміди KBCD.

Показати рішення

Рішення

Згідно з умовою, KC є висотою піраміди KBCD . CC_1 є висотою призми ABCDA_1B_1C_1D_1.

Оскільки K є серединою CC_1, то KC = frac12CC_1.Нехай CC_1=H тоді KC=frac12H. Зауважимо також, що S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Тоді, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Отже, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 6 , а висота — 8 .

Показати рішення

Рішення

Площу бічної поверхні призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 6a \ cdot h, де P осн. і h - відповідно периметр основи і висота призми, рівна 8 і a - сторона правильного шестикутника, рівна 6 . Отже, S бік. = 6 cdot 6 cdot 8 = 288.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У посудину, що має форму правильної трикутної призми, налили воду. Рівень води досягає 40 см. На якій висоті буде рівень води, якщо її перелити в іншу посудину такої ж форми, у якої сторона основи вдвічі більша, ніж у першої? Відповідь висловіть у сантиметрах.

Показати рішення

Рішення

Нехай a - сторона підстави першої судини, тоді 2 a - сторона підстави другої судини. За умовою обсяг рідини V у першій і другій посудині той самий. Позначимо через рівень H, на який піднялася рідина в другій посудині. Тоді V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,і, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Звідси \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H=10.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній шестикутній призмі ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 усі ребра дорівнюють 2 . Знайдіть відстань між точками A і E_1.

Показати рішення

Рішення

Трикутник AEE_1 — прямокутний, тому що ребро EE_1 перпендикулярне площині основи призми, прямим кутом буде кут AEE_1.

Тоді за теоремою Піфагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Знайдемо AE із трикутника AFE за теоремою косінусів. Кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 (circ). Тоді AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2cdot2cdot2cdotleft (-frac12right).

Звідси, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями, рівними 4\sqrt5і 8 і бічним ребром, рівним 5 .

Показати рішення

Рішення

Площу бічної поверхні прямої призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 4a \ cdot h, де P осн. і h відповідно периметр основи і висота призми, що дорівнює 5 і a - сторона ромба. Знайдемо бік ромба, користуючись тим, що діагоналі ромба ABCD взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл.

Завдання:

У правильній чотирикутній призмі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на ребрі СС 1 взято точку К так, що СК: КС 1 = 1: 2.

а) Побудуйте переріз призми площиною, яка проходить через точки D та К паралельно діагоналі основи АС.

б) Знайдіть кут між площиною перерізу та площиною основи, якщо CC 1 = 4,5√ 2, АВ = 3.

Рішення:

а) Оскільки призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 правильна, ABCD — квадрат і бічні грані — рівні прямокутники.

Побудуємо переріз призми площиною, що проходить через точки D та K паралельно AC. Лінія перетину площини перерізу та площини AA 1 C 1 проходить через точку K та паралельна AC.

У площині ACC 1 через точку K проведемо відрізок KF паралельно до діагоналі AC.

Оскільки грані A 1 ADD 1 і B 1 BCC 1 призми паралельні, то за властивістю паралельних площин лінії перетину площини перерізу та цих граней паралельні. Проведемо PK | FD. Чотирьохкутник FPKD - шуканий переріз.

б) Знайдемо кут між площиною перерізу та площиною основи. Нехай площина перерізу перетинає площину основи деякою прямою p, що проходить через точку D. AC || FK, отже, AC | p (якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна цій прямій). Оскільки діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні, то BD ⊥ AC, отже,
BD ⊥ p. BD — проекція PD на площину ABC, тому PD ⊥ p за теоремою про три перпендикуляри. Отже, ∠PDB — лінійний кут двогранного кута між площиною перерізу та площиною основи.

FK || p, отже, FK ⊥ PD. У чотирикутнику FPKD маємо FD || PK та KD || FP, отже, FPKD — паралелограм, оскільки прямокутні трикутники FAD і KCD рівні за двома катетами (AD = DC як сторони квадрата, FA = KC як відстані між паралельними прямими AC і F K), то FPKD — ромб. Звідси PD = 2OD.

За умовою CK: KC 1 = 1: 2, тоді KC = 1/3*CC 1 = 4,5√2 / 3 = 1,5√2.

У Δ DKC за теоремою Піфагора KD 2 = DC 2 + KC 2 , KD = =
√13,5.

AC = 3√2 як діагональ квадрата, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.

У Δ KOD за теоремою Піфагора OD 2 = KD 2 − OK 2 ,

OD = = 3. PD = 2OD = 6.

У прямокутному трикутнику PDB cos ∠PDB = BD/PD = 3√2/6 = √2/2 , отже, ∠PDB = 45◦ .

Відповідь: 45◦.

Як виглядає правильна чотирикутна призма? і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Edit Piaf[гуру]
Призма – це багатогранник, дві грані якої (основи призми) – рівні багатокутники з паралельними сторонами, інші грані - паралелограми, площини яких паралельні прямий. Паралелограми AabB, BbcC тощо називаються бічними гранями; ребра Aa, Bb, Cc і т. д. називаються бічними ребрами. Висота призми – це будь-який перпендикуляр, опущений із будь-якої точки основи на площину іншої основи. Залежно від форми багатокутника, що лежить в основі, призма може бути відповідно: трикутною, чотирикутною, п'ятикутною, шестикутною і т. д. Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до площини основи, така призма називається прямою; інакше – це похила призма. Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма також називається правильною.
Правильною призмою називається пряма призма, основою якої є правильний багатокутник, тобто у разі - квадрат.
Я намалювала пряму призму, але вона може бути похилою

Відповідь від Happy End[гуру]
кубик

Відповідь від 3 відповіді[гуру]

Вітання! Ось добірка тем із відповідями на Ваше запитання: Як виглядає правильна чотирикутна призма?