Ოქროს რადიო. რა არის ოქროს თანაფარდობა? როგორია ოქროს კვეთის პრინციპი

ეს ჰარმონია თვალშისაცემია თავისი მასშტაბით...

გამარჯობა მეგობრებო!

გსმენიათ რამე ღვთაებრივი ჰარმონიის ან ოქროს თანაფარდობის შესახებ? ოდესმე გიფიქრიათ იმაზე, რატომ გვეჩვენება რაღაც იდეალური და ლამაზი, მაგრამ რაღაც გვგვრის?

თუ არა, მაშინ წარმატებით მოხვედით ამ სტატიაში, რადგან მასში განვიხილავთ ოქროს თანაფარდობას, გავარკვევთ, რა არის, როგორ გამოიყურება ბუნებაში და ადამიანებში. მოდით ვისაუბროთ მის პრინციპებზე, გავარკვიოთ რა არის ფიბონაჩის სერია და მრავალი სხვა, მათ შორის ოქროს მართკუთხედისა და ოქროს სპირალის კონცეფცია.

დიახ, სტატიას აქვს უამრავი სურათი, ფორმულა, ბოლოს და ბოლოს, ოქროს თანაფარდობაც მათემატიკაა. მაგრამ ყველაფერი აღწერილია საკმაოდ მარტივი ენით, ნათლად. და სტატიის ბოლოს გაიგებთ, რატომ უყვარს ყველას კატები ასე ძალიან =)

რა არის ოქროს თანაფარდობა?

მარტივად რომ ვთქვათ, ოქროს თანაფარდობა არის პროპორციის გარკვეული წესი, რომელიც ქმნის ჰარმონიას?. ანუ თუ ამ პროპორციების წესებს არ დავარღვევთ, მაშინ ძალიან ჰარმონიულ კომპოზიციას მივიღებთ.

ოქროს თანაფარდობის ყველაზე ყოვლისმომცველი განმარტება ამბობს, რომ მცირე ნაწილი დაკავშირებულია უფრო დიდთან, ისევე როგორც უფრო დიდი ნაწილი მთლიანთან.

მაგრამ ამის გარდა, ოქროს თანაფარდობა არის მათემატიკა: მას აქვს კონკრეტული ფორმულა და კონკრეტული რიცხვი. ბევრი მათემატიკოსი, ზოგადად, მას ღვთაებრივი ჰარმონიის ფორმულად მიიჩნევს და მას "ასიმეტრიულ სიმეტრიას" უწოდებს.

ოქროს თანაფარდობა ჩვენს თანამედროვეებს ძველი საბერძნეთის დროიდან მოაღწია, თუმცა, არსებობს მოსაზრება, რომ თავად ბერძნებმა უკვე დააფიქსირეს ოქროს თანაფარდობა ეგვიპტელებს შორის. იმის გამო, რომ ძველი ეგვიპტის მრავალი ხელოვნების ნიმუში აშკარად არის აგებული ამ პროპორციის კანონების მიხედვით.

ითვლება, რომ პითაგორა იყო პირველი, ვინც შემოიტანა ოქროს თანაფარდობის კონცეფცია. ევკლიდეს ნამუშევრები დღემდე შემორჩა (მან გამოიყენა ოქროს თანაფარდობა რეგულარული ხუთკუთხედების ასაგებად, რის გამოც ასეთ ხუთკუთხედს "ოქროს" უწოდებენ), ხოლო ოქროს თანაფარდობის რიცხვს ძველი ბერძენი არქიტექტორის ფიდიასის სახელი ჰქვია. ანუ ეს არის ჩვენი რიცხვი „phi“ (აღნიშნავს ბერძნული ასო ფ) და უდრის 1,6180339887498948482... ბუნებრივია, ეს მნიშვნელობა დამრგვალებულია: φ = 1,618 ან φ = 1,62 და პროცენტული თვალსაზრისით ოქროს თანაფარდობა. გამოიყურება 62% და 38%.

რა არის უნიკალური ამ პროპორციაში (და მერწმუნეთ, ის არსებობს)? მოდით, ჯერ ვცადოთ მისი გარკვევა სეგმენტის მაგალითის გამოყენებით. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ სეგმენტს და ვყოფთ არათანაბარ ნაწილებად ისე, რომ მისი მცირე ნაწილი ეხებოდეს უფრო დიდს, როგორც დიდი ნაწილი ეხება მთელს. მე მესმის, ჯერ არ არის ძალიან ნათელი, რა არის, ვეცდები უფრო ნათლად გამოვხატო სეგმენტების მაგალითის გამოყენებით:

მაშ ასე, ვიღებთ სეგმენტს და ვყოფთ მას ორ სხვაზე, ისე, რომ პატარა სეგმენტი a ეხება უფრო დიდ b სეგმენტს, ისევე როგორც b სეგმენტი ეხება მთელს, ანუ მთელ წრფეს (a + b). მათემატიკურად ასე გამოიყურება:

ეს წესი მუშაობს განუსაზღვრელი ვადით, შეგიძლიათ დაყოთ სეგმენტები რამდენიც გსურთ. და ნახეთ, რამდენად მარტივია. მთავარია ერთხელ გაიგო და ეგაა.

მაგრამ ახლა მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს, რომელიც ძალიან ხშირად გვხვდება, რადგან ოქროს თანაფარდობა ასევე წარმოდგენილია ოქროს მართკუთხედის სახით (რომლის ასპექტის თანაფარდობა არის φ = 1.62). ეს ძალიან საინტერესო მართკუთხედია: თუ მისგან კვადრატს „მოვჭრით“, ისევ ოქროს მართკუთხედს მივიღებთ. და ასე უსასრულოდ. იხილეთ:

მაგრამ მათემატიკა არ იქნებოდა მათემატიკა, ფორმულები რომ არ ჰქონდეს. ასე რომ, მეგობრებო, ახლა ცოტა "დააშავებს". ოქროს თანაფარდობის გამოსავალი დავმალე სპოილერის ქვეშ; ბევრი ფორმულაა, მაგრამ არ მინდა მათ გარეშე დავტოვო სტატია.

ფიბონაჩის სერია და ოქროს თანაფარდობა

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკის მაგიის შექმნას და დაკვირვებას და ოქროს თანაფარდობას. შუა საუკუნეებში იყო ასეთი ამხანაგი - ფიბონაჩი (ან ფიბონაჩი, ყველგან სხვანაირად წერენ). უყვარდა მათემატიკა და ამოცანები, ასევე ჰქონდა საინტერესო პრობლემა კურდღლების გამრავლებასთან დაკავშირებით =) მაგრამ ეს არ არის საქმე. მან აღმოაჩინა რიცხვების თანმიმდევრობა, მასში შემავალ ციფრებს "ფიბონაჩის რიცხვებს" უწოდებენ.

თანმიმდევრობა თავისთავად ასე გამოიყურება:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... და ასე შემდეგ უსასრულოდ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფიბონაჩის მიმდევრობა არის რიცხვების თანმიმდევრობა, სადაც ყოველი მომდევნო რიცხვი უდრის წინა ორის ჯამს.

რა შუაშია ოქროს თანაფარდობა? ახლა ნახავთ.

ფიბონაჩის სპირალი

იმისათვის, რომ ნახოთ და იგრძნოთ მთელი კავშირი ფიბონაჩის რიცხვთა სერიასა და ოქროს თანაფარდობას შორის, თქვენ კვლავ უნდა გადახედოთ ფორმულებს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფიბონაჩის მიმდევრობის მე-9 წევრიდან ვიწყებთ ოქროს თანაფარდობის მნიშვნელობების მიღებას. და თუ ჩვენ ვიზუალურად წარმოვიდგენთ მთელ ამ სურათს, დავინახავთ, თუ როგორ ქმნის ფიბონაჩის თანმიმდევრობა ოთხკუთხედებს უფრო და უფრო ახლოს ოქროს ოთხკუთხედთან. ეს არის კავშირი.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ფიბონაჩის სპირალზე, მას ასევე უწოდებენ "ოქროს სპირალს".

ოქროს სპირალი არის ლოგარითმული სპირალი, რომლის ზრდის კოეფიციენტია φ4, სადაც φ არის ოქროს თანაფარდობა.

ზოგადად, მათემატიკური თვალსაზრისით, ოქროს თანაფარდობა იდეალური პროპორციაა. მაგრამ ეს მხოლოდ დასაწყისია მისი სასწაულებისა. თითქმის მთელი მსოფლიო ექვემდებარება ოქროს თანაფარდობის პრინციპებს; ბუნებამ შექმნა ეს პროპორცია. ეზოთერიკოსებიც კი ხედავენ მასში რიცხვით ძალას. მაგრამ ამ სტატიაში ჩვენ ნამდვილად არ ვისაუბრებთ ამაზე, ასე რომ, იმისათვის, რომ არაფერი გამოტოვოთ, შეგიძლიათ გამოიწეროთ საიტის განახლებები.

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში, ადამიანში, ხელოვნებაში

სანამ დავიწყებდეთ, მინდა განვმარტო მთელი რიგი უზუსტობები. ჯერ ერთი, ამ კონტექსტში ოქროს თანაფარდობის განმარტება მთლად სწორი არ არის. ფაქტია, რომ "სექციური" კონცეფცია არის გეომეტრიული ტერმინი, რომელიც ყოველთვის აღნიშნავს სიბრტყეს, მაგრამ არა ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობას.

და მეორეც, რიცხვების სერიები და ერთის შეფარდება, რა თქმა უნდა, გადაკეთდა ერთგვარ ტრაფარეტად, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ყველაფერზე, რაც საეჭვოდ გამოიყურება და შეიძლება ძალიან ბედნიერი იყოს, როდესაც არის დამთხვევები, მაგრამ მაინც. , საღი აზრი არ უნდა დაიკარგოს.

თუმცა, „ჩვენს სამეფოში ყველაფერი აირია“ და ერთი მეორის სინონიმი გახდა. ასე რომ, ზოგადად, ამისგან აზრი არ იკარგება. ახლა მოდით გადავიდეთ საქმეზე.

გაგიკვირდებათ, მაგრამ ოქროს თანაფარდობა, უფრო სწორად, მასთან მაქსიმალურად მიახლოებული პროპორციები, თითქმის ყველგან ჩანს, სარკეშიც კი. არ გჯერა? დავიწყოთ ამით.

იცით, როცა ხატვას ვსწავლობდი, გვიხსნიდნენ, რამდენად ადვილია ადამიანის სახის, სხეულის და ა.შ. ყველაფერი სხვა რამესთან შედარებით უნდა იყოს გათვლილი.

ყველაფერი, აბსოლუტურად ყველაფერი პროპორციულია: ძვლები, ჩვენი თითები, ხელისგულები, მანძილი სახეზე, გაშლილი ხელების მანძილი სხეულთან მიმართებაში და ა.შ. მაგრამ ეს ყველაფერიც არ არის, ჩვენი სხეულის შინაგანი სტრუქტურა, თუნდაც ეს, ოქროს მონაკვეთის ფორმულის ტოლია ან თითქმის ტოლია. აქ არის დისტანციები და პროპორციები:

მხრებიდან გვირგვინამდე თავის ზომამდე = 1:1.618

ჭიპიდან გვირგვინამდე სეგმენტამდე მხრებიდან გვირგვინამდე = 1:1.618

ჭიპიდან მუხლებამდე და მუხლებიდან ფეხებამდე = 1:1.618

ნიკაპიდან ზედა ტუჩის უკიდურეს წერტილამდე და მისგან ცხვირამდე = 1:1.618

ეს საოცარი არ არის!? ჰარმონია მისი სუფთა სახით, როგორც შიგნით, ასევე გარეთ. და ამიტომ, რაღაც ქვეცნობიერ დონეზე, ზოგიერთი ადამიანი არ გვეჩვენება ლამაზად, თუნდაც ძლიერი, ტონიანი სხეული, ხავერდოვანი კანი, ლამაზი თმა, თვალები და ა.შ. და სხვა ყველაფერი. მაგრამ, ერთი და იგივე, სხეულის პროპორციების ოდნავი დარღვევა და გარეგნობა უკვე ოდნავ "ავნებს თვალებს".

მოკლედ, რაც უფრო ლამაზად გვეჩვენება ადამიანი, მით უფრო უახლოვდება მისი პროპორციები იდეალს. და ეს, სხვათა შორის, შეიძლება მიეკუთვნოს არა მხოლოდ ადამიანის სხეულს.

ოქროს თანაფარდობა ბუნებაში და მის ფენომენებში

ბუნებაში ოქროს თანაფარდობის კლასიკური მაგალითია მოლუსკის Nautilus pompilius-ის ჭურვი და ამონიტი. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის, კიდევ ბევრი მაგალითია:

ადამიანის ყურის კულულებში ვხედავთ ოქროს სპირალს;

ის იგივეა (ან მასთან ახლოს) სპირალებში, რომლებზეც გალაქტიკები ტრიალებენ;

და დნმ-ის მოლეკულაში;

ფიბონაჩის სერიის მიხედვით, მზესუმზირის ცენტრია მოწყობილი, იზრდება გირჩები, შუა ყვავილები, ანანასი და მრავალი სხვა ხილი.

მეგობრებო, იმდენი მაგალითია, რომ უბრალოდ დავტოვებ ვიდეოს აქ (ეს არის მხოლოდ ქვემოთ), რათა სტატია ტექსტით არ გადავიტვირთო. რადგან თუ ამ თემას ჩავუღრმავდებით, შეგიძლიათ უფრო ღრმად შეხვიდეთ შემდეგ ჯუნგლებში: ძველმა ბერძნებმაც კი დაამტკიცეს, რომ სამყარო და, ზოგადად, მთელი სივრცე დაგეგმილია ოქროს თანაფარდობის პრინციპით.

გაგიკვირდებათ, მაგრამ ეს წესები ჟღერადობაშიც კი შეგიძლიათ ნახოთ. იხილეთ:

ხმის უმაღლესი წერტილი, რომელიც იწვევს ტკივილს და დისკომფორტს ჩვენს ყურებში, არის 130 დეციბელი.

პროპორციას 130 ვყოფთ ოქროს თანაფარდობის რიცხვზე φ = 1,62 და მივიღებთ 80 დეციბელს - ადამიანის ყვირილის ხმას.

ჩვენ ვაგრძელებთ პროპორციულად დაყოფას და ვიღებთ, ვთქვათ, ადამიანის მეტყველების ნორმალურ მოცულობას: 80 / φ = 50 დეციბელი.

ისე, ბოლო ხმა, რომელსაც ვიღებთ ფორმულის წყალობით, არის სასიამოვნო ჩურჩულის ხმა = 2.618.

ამ პრინციპის გამოყენებით შესაძლებელია ტემპერატურის, წნევის და ტენიანობის ოპტიმალურ-კომფორტული, მინიმალური და მაქსიმალური რაოდენობის დადგენა. მე არ გამომიცდია და არ ვიცი რამდენად მართალია ეს თეორია, მაგრამ დამეთანხმებით, შთამბეჭდავად ჟღერს.

შეგიძლიათ წაიკითხოთ უმაღლესი სილამაზე და ჰარმონია აბსოლუტურად ყველაფერ ცოცხალში და არაცოცხალში.

მთავარია, ამით არ გაგიტაცოს, რადგან თუ რაღაცის დანახვა გვინდა, დავინახავთ, თუნდაც ის არ იყოს. მაგალითად, PS4-ის დიზაინს მივაქციე ყურადღება და იქ ვნახე ოქროს თანაფარდობა =) თუმცა, ეს კონსოლი ისეთი მაგარია, არ გამიკვირდება, თუ დიზაინერმა იქ მართლა რამე ჭკვიანური გააკეთა.

ოქროს თანაფარდობა ხელოვნებაში

ეს ასევე ძალიან დიდი და ვრცელი თემაა, რომელიც ცალკე განხილვის ღირსია. აქ მხოლოდ რამდენიმე ძირითად პუნქტს აღვნიშნავ. ყველაზე საყურადღებო ის არის, რომ ანტიკური ხანის (და არა მხოლოდ) ხელოვნების მრავალი ნამუშევარი და არქიტექტურული შედევრი ოქროს კვეთის პრინციპებით იყო შესრულებული.

ეგვიპტური და მაიას პირამიდები, პარიზის ღვთისმშობლის ტაძარი, ბერძნული პართენონი და ა.შ.

მოცარტის, შოპენის, შუბერტის, ბახის და სხვათა მუსიკალურ ნაწარმოებებში.

ფერწერაში (ეს აშკარად ჩანს): ცნობილი მხატვრების ყველა ყველაზე ცნობილი ნახატი შესრულებულია ოქროს თანაფარდობის წესების გათვალისწინებით.

ეს პრინციპები გვხვდება პუშკინის ლექსებში და მშვენიერი ნეფერტიტის ბიუსტში.

ახლაც გამოიყენება ოქროს თანაფარდობის წესები, მაგალითად, ფოტოგრაფიაში. კარგად, და რა თქმა უნდა, ყველა სხვა ხელოვნებაში, მათ შორის კინემატოგრაფიასა და დიზაინში.

ოქროს ფიბონაჩის კატები

და ბოლოს, კატების შესახებ! ოდესმე დაფიქრებულხართ, რატომ უყვარს ყველას ასე ძალიან კატები? მათ დაიპყრეს ინტერნეტი! კატები ყველგან არიან და ეს მშვენიერია =)

და მთელი საქმე ის არის, რომ კატები სრულყოფილები არიან! არ გჯერა? ახლა მე მათემატიკურად დაგიმტკიცებ!

ხედავ? საიდუმლო გამოვლინდა! კატები იდეალურია მათემატიკის, ბუნებისა და სამყაროს თვალსაზრისით =)

*ვხუმრობ, რა თქმა უნდა. არა, კატები ნამდვილად იდეალურია) მაგრამ მათემატიკურად არავის გაუზომია, ალბათ.

ძირითადად ასეა, მეგობრებო! შემდეგ სტატიებში შევხვდებით. Წარმატებას გისურვებ!

P.S.სურათები გადაღებულია medium.com-დან.

თხზულება დაასრულა მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების მე-9 გიმნაზიაში ვერონიკა ვიუშინას მე-8 კლასის მოსწავლემ.

ეკატერინბურგი

1. შესავალი. ოქროს თანაფარდობის პროპორცია. F და φ.

"გეომეტრიას აქვს ორი დიდი საგანძური. პირველი არის პითაგორას თეორემა, მეორე არის სეგმენტის დაყოფა უკიდურეს და საშუალო თანაფარდობებში"

იოჰანეს კეპლერი

წესიერმა მრავალკუთხედებმა არქიმედესამდე დიდი ხნით ადრე მიიპყრეს ძველი ბერძენი მეცნიერების ყურადღება. პითაგორელებმა, რომლებმაც თავიანთი კავშირის ემბლემად აირჩიეს პენტაგრამა - ხუთქიმიანი ვარსკვლავი, დიდ მნიშვნელობას ანიჭებდნენ წრის თანაბარ ნაწილებად დაყოფის, ანუ რეგულარული წარწერიანი მრავალკუთხედის აგების პრობლემას. ალბრეხტ დიურერი (1471-1527), რომელიც გახდა რენესანსის პერსონიფიკაცია გერმანიაში, გვაწვდის თეორიულად ზუსტ მეთოდს რეგულარული ხუთკუთხედის ასაგებად, ნასესხები პტოლემეოსის დიდი ნაშრომიდან "ალმაგესტი".

დიურერის ინტერესი რეგულარული მრავალკუთხედების აგებით ასახავს მათ გამოყენებას შუა საუკუნეებში არაბულ და გოთიკურ დიზაინებში და ცეცხლსასროლი იარაღის გამოგონების შემდეგ ციხესიმაგრეების დაგეგმარებაში.

რეგულარული მრავალკუთხედების აგების შუა საუკუნეების მეთოდები მიახლოებითი იყო, მაგრამ იყო (ან არ შეიძლებოდა არ ყოფილიყო) მარტივი: უპირატესობა ენიჭებოდა მშენებლობის მეთოდებს, რომლებიც არც კი მოითხოვდნენ კომპასის გახსნის შეცვლას. ლეონარდო და ვინჩიმაც ბევრი დაწერა მრავალკუთხედებზე, მაგრამ ეს იყო დიურერი და არა ლეონარდო, რომელმაც გადასცა შუა საუკუნეების მშენებლობის მეთოდები თავის შთამომავლებს. დიურერი, რა თქმა უნდა, იცნობდა ევკლიდეს „ელემენტებს“, მაგრამ არ წარმოადგინა თავის „გაზომვის სახელმძღვანელოში“ (კომპასებისა და სახაზავების გამოყენებით კონსტრუქციების შესახებ) ევკლიდეს მიერ შემოთავაზებული მეთოდი რეგულარული ხუთკუთხედის ასაგებად, რომელიც თეორიულად ზუსტი იყო, როგორც ყველა. ევკლიდური კონსტრუქციები. ევკლიდე არ ცდილობს წრის მოცემული რკალი სამ ტოლ ნაწილად დაყოს და დიურერმა იცოდა, თუმცა მტკიცებულება მე-19 საუკუნემდე არ მოიძებნა, რომ ეს პრობლემა გადაუჭრელი იყო.

ევკლიდეს მიერ შემოთავაზებული რეგულარული ხუთკუთხედის მშენებლობა მოიცავს სწორი ხაზის სეგმენტის დაყოფას საშუალო და უკიდურეს თანაფარდობაში, რომელსაც მოგვიანებით ოქროს მონაკვეთი უწოდეს და რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში მიიპყრო მხატვრებისა და არქიტექტორების ყურადღება.

წერტილი B ყოფს ABE სეგმენტს საშუალო და უკიდურეს თანაფარდობაში ან აყალიბებს ოქროს თანაფარდობას, თუ სეგმენტის უფრო დიდი ნაწილის შეფარდება უფრო მცირეს უდრის მთელი სეგმენტის შეფარდებას უფრო დიდ ნაწილთან.

თანაფარდობათა თანასწორობის სახით დაწერილ ოქროს კვეთას აქვს ფორმა

AB/BE= AB/AE

თუ AB=a და BE=a/F დავსვამთ ისე, რომ ოქროს თანაფარდობა იყოს AB/BE=F, მაშინ მივიღებთ თანაფარდობას.

ანუ Ф აკმაყოფილებს განტოლებას

ამ განტოლებას აქვს ერთი დადებითი ფესვი

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

გაითვალისწინეთ, რომ 1/Ф = (√5 -1)/2, ვინაიდან (√5-1)(√5+1) =5-1=4. 1/F ითვლება φ=0.618034….

Ф და φ არის ბერძნული ასო "phi"-ის დიდი და პატარა ფორმები.

ეს აღნიშვნა მიღებულ იქნა ძველი ბერძენი მოქანდაკის ფიდიასის პატივსაცემად (ძვ. წ. V ს.) ფიდიასი ზედამხედველობდა ათენში პართენონის ტაძრის მშენებლობას. რიცხვი φ არაერთხელ არის წარმოდგენილი ამ ტაძრის პროპორციებში.

2.ოქროს კვეთის ისტორია

ზოგადად მიღებულია, რომ ოქროს დაყოფის ცნება მეცნიერულ გამოყენებაში შემოიღო პითაგორამ, ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა (ძვ. წ. VI ს.). არსებობს ვარაუდი, რომ პითაგორამ ისესხა თავისი ცოდნა ოქროს განყოფილების შესახებ ეგვიპტელებისა და ბაბილონელებისგან. მართლაც, კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და ძვირფასეულობის პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელმა ხელოსნებმა მათი შექმნისას გამოიყენეს ოქროს განყოფილების თანაფარდობა. ფრანგმა არქიტექტორმა ლე კორბუზიემ აღმოაჩინა, რომ აბიდოსში ფარაონ სეტი I-ის ტაძრიდან რელიეფში და ფარაონ რამზესის გამოსახულ რელიეფში, ფიგურების პროპორციები შეესაბამება ოქროს განყოფილების მნიშვნელობებს. მისი სახელობის საფლავიდან ხის დაფის რელიეფზე გამოსახულ ხუროთმოძღვარს ხესირას ხელში უჭირავს საზომი ხელსაწყოები, რომლებშიც ოქროს დაყოფის პროპორციებია ჩაწერილი.

ბერძნები გამოცდილი გეომეტრები იყვნენ. ისინი შვილებს არითმეტიკასაც კი ასწავლიდნენ გეომეტრიული ფიგურების გამოყენებით. პითაგორას მოედანი და ამ კვადრატის დიაგონალი იყო საფუძველი დინამიური მართკუთხედების აგებისთვის.

ოქროს დაყოფის შესახებ იცოდა პლატონმაც (ძვ. წ. 427... 347 წ.). მისი დიალოგი „ტიმეოსი“ ეძღვნება პითაგორას სკოლის მათემატიკურ და ესთეტიკურ შეხედულებებს და, კერძოდ, ოქროს დაყოფის საკითხებს.

პართენონს აქვს 8 სვეტი მოკლე გვერდებზე და 17 გრძელ მხარეს. შენობის სიმაღლის შეფარდება მის სიგრძესთან არის 0,618. თუ პართენონს დავყოფთ „ოქროს მონაკვეთის“ მიხედვით, მივიღებთ ფასადის გარკვეულ გამონაკვეთებს. მისი გათხრების დროს აღმოაჩინეს კომპასები, რომლებსაც იყენებდნენ უძველესი სამყაროს არქიტექტორები და მოქანდაკეები. პომპეის კომპასი (მუზეუმი ნეაპოლში) ასევე შეიცავს ოქროს განყოფილების პროპორციებს.

ჩვენამდე მოღწეულ უძველეს ლიტერატურაში ოქროს დაყოფა პირველად ნახსენები იყო ევკლიდეს ელემენტებში. ელემენტების მე-2 წიგნში მოცემულია ოქროს დაყოფის გეომეტრიული კონსტრუქცია. ევკლიდეს შემდეგ ჰიფსიკლემ (ძვ. წ. II ს.), პაპუსმა (ახ. წ. III ს.) და სხვებმა შეისწავლეს ოქროს დაყოფა. შუა საუკუნეების ევროპაში ისინი გაეცნენ ოქროს დაყოფას ევკლიდეს ელემენტების არაბული თარგმანებიდან. თარგმანზე კომენტარი გააკეთა მთარგმნელმა ჯ.კამპანომ ნავარიდან (III ს.). ოქროს სამმართველოს საიდუმლოებას ეჭვიანობით იცავდნენ და მკაცრ საიდუმლოდ ინახავდნენ. ისინი მხოლოდ ინიციატორებით იყვნენ ცნობილი.

რენესანსის პერიოდში ოქროს განყოფილებისადმი ინტერესი გაიზარდა მეცნიერებსა და მხატვრებს შორის მისი გამოყენების გამო როგორც გეომეტრიაში, ასევე ხელოვნებაში, განსაკუთრებით არქიტექტურაში. ლეონარდო და ვინჩიმ, მხატვარმა და მეცნიერმა, დაინახა, რომ იტალიელ მხატვრებს ჰქონდათ დიდი ემპირიული გამოცდილება, მაგრამ ცოდნის ნაკლებობა. მან ჩაფიქრდა და დაიწყო გეომეტრიის შესახებ წიგნის წერა, მაგრამ ამ დროს გამოჩნდა ბერი ლუკა პაჩიოლის წიგნი და ლეონარდომ მიატოვა თავისი იდეა. თანამედროვეთა და მეცნიერების ისტორიკოსების აზრით, ლუკა პაჩიოლი იყო ნამდვილი მნათობი, იტალიის უდიდესი მათემატიკოსი ფიბონაჩისა და გალილეოს შორის პერიოდში.

ლუკა პაჩიოლიმ შესანიშნავად ესმოდა მეცნიერების მნიშვნელობა ხელოვნებისთვის. 1496 წელს მოროს ჰერცოგის მიწვევით მილანში ჩავიდა, სადაც მათემატიკის ლექციებს კითხულობდა. ლეონარდო და ვინჩიც იმ დროს მუშაობდა მილანში მოროს სასამართლოში. 1509 წელს ვენეციაში გამოიცა ლუკა პაჩიოლის წიგნი „ღვთაებრივი პროპორცია“ ბრწყინვალედ შესრულებული ილუსტრაციებით, რის გამოც ითვლება, რომ ისინი ლეონარდო და ვინჩის მიერაა შექმნილი. წიგნი იყო ენთუზიაზმით სავსე ჰიმნი ოქროს თანაფარდობასთან. ოქროს პროპორციის მრავალ უპირატესობას შორის, ბერმა ლუკა პაჩიოლიმ არ დაასახელა მისი „ღვთაებრივი არსი“, როგორც ღვთაებრივი სამების გამოხატულება: ღმერთი ძე, ღმერთი მამა და ღმერთი წმინდა სული (იგულისხმება, რომ მცირე სეგმენტი არის ძე ღმერთის პერსონიფიკაცია, უფრო დიდი სეგმენტი არის მამის ღმერთი და მთელი სეგმენტი - სულიწმიდის ღმერთი).

ლეონარდო და ვინჩიმ ასევე დიდი ყურადღება დაუთმო ოქროს განყოფილების შესწავლას. მან გააკეთა სტერეომეტრიული სხეულის სექციები, რომლებიც წარმოიქმნება რეგულარული ხუთკუთხედებით და ყოველ ჯერზე იღებდა ოთხკუთხედებს ოქროს განყოფილებაში ასპექტის თანაფარდობით. ამიტომ მან ამ განყოფილებას დაარქვა სახელი ოქროს თანაფარდობა. ასე რომ, ის კვლავ რჩება როგორც ყველაზე პოპულარული.

პარალელურად, ჩრდილოეთ ევროპის, გერმანიაში, ალბრეხტ დიურერი მუშაობდა იმავე პრობლემებზე. იგი ასახავს ტრაქტატის პირველი ვერსიის შესავალს პროპორციების შესახებ. დიურერი წერს: „აუცილებელია, ვინც იცის, როგორ გააკეთოს რაღაც, უნდა ასწავლოს ის სხვებს, ვისაც ეს სჭირდება. ეს არის ის, რის გაკეთებასაც ვაპირებ“.

დიურერის ერთ-ერთი წერილით თუ ვიმსჯელებთ, ის იტალიაში ყოფნისას შეხვდა ლუკა პაჩიოლის. ალბრეხტ დიურერი დეტალურად ავითარებს ადამიანის სხეულის პროპორციების თეორიას. დიურერმა თავისი ურთიერთობების სისტემაში მნიშვნელოვანი ადგილი დაუთმო ოქროს განყოფილებას. ადამიანის სიმაღლე ოქროს პროპორციებად იყოფა ქამრის ხაზით, აგრეთვე დაწეული ხელების შუა თითების წვერებით, სახის ქვედა ნაწილი პირით და ა.შ. დიურერის პროპორციული კომპასი ცნობილია.

გეომეტრიას ორი საგანძური აქვს: ერთი მათგანი პითაგორას თეორემაა, მეორე კი სეგმენტის დაყოფა საშუალო და უკიდურესი თანაფარდობით. პირველი შეიძლება შევადაროთ ოქროს საზომს; მეორე უფრო ძვირფას ქვას ჰგავს.

ი.კეპლერი

იცოდით, რომ სკოლაში ან სამსახურში სიარულისას, მუსიკის მოსმენისას, სახლის საქმეების კეთებისას, ზღვაზე დასვენებისას ან საქმიანი კონტრაქტების გაფორმებისას მუდმივად ვხვდებით ოქროს თანაფარდობის მაგალითებს. მცენარეები, ცხოველები, კერძები და ზოგიერთი ასოც კი აგებულია ოქროს თანაფარდობის პრინციპით. ოქროს თანაფარდობა დნმ-ის მოლეკულაშიც კი აღმოაჩინეს.

მინდა უფრო ახლოს გაგაცნოთ ეს წარმოუდგენელი, ჩემი აზრით, ფენომენი და კონკრეტულად გითხრათ სად და როგორ ვხვდებით და როგორ ვიყენებთ მას.

ზოგადად მიღებულია, რომ ოქროს დაყოფის ცნება მეცნიერულ გამოყენებაში შემოიღო პითაგორამ, ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა და მათემატიკოსმა (ძვ. წ. VI ს.). არსებობს ვარაუდი, რომ პითაგორამ ისესხა თავისი ცოდნა ოქროს განყოფილების შესახებ ეგვიპტელებისა და ბაბილონელებისგან. მართლაც, კეოპსის პირამიდის, ტაძრების, ბარელიეფების, საყოფაცხოვრებო ნივთებისა და ძვირფასეულობის პროპორციები ტუტანხამონის საფლავიდან მიუთითებს იმაზე, რომ ეგვიპტელმა ხელოსნებმა მათი შექმნისას გამოიყენეს ოქროს განყოფილების თანაფარდობა. ფრანგმა არქიტექტორმა ლე კორბუზიემ აღმოაჩინა, რომ აბიდოსში ფარაონ სეტი I-ის ტაძრის რელიეფში და ფარაონ რამზესზე გამოსახულ რელიეფში, ფიგურების პროპორციები შეესაბამება ოქროს განყოფილების მნიშვნელობებს. მისი სახელობის საფლავიდან ხის დაფის რელიეფზე გამოსახულ ხუროთმოძღვარს ხესირას ხელში უჭირავს საზომი ხელსაწყოები, რომლებშიც ოქროს დაყოფის პროპორციებია ჩაწერილი. ბერძნები გამოცდილი გეომეტრები იყვნენ. ისინი შვილებს არითმეტიკასაც კი ასწავლიდნენ გეომეტრიული ფიგურების გამოყენებით. პითაგორას მოედანი და ამ კვადრატის დიაგონალი იყო საფუძველი დინამიური მართკუთხედების აგებისთვის.

რა არის ოქროს თანაფარდობა, ოქროს კვეთის გამოყენება მათემატიკაში.

ოქროს თანაფარდობა არის სეგმენტის ისეთი პროპორციული დაყოფა არათანაბარ ნაწილებად, რომელშიც მთელი სეგმენტი დაკავშირებულია უფრო დიდ ნაწილთან, როგორც თავად უფრო დიდი ნაწილი დაკავშირებულია პატარასთან; ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პატარა სეგმენტი არის უფრო დიდი, როგორც დიდი არის მთელი a: b = b: c ან c: b = b: a.

ეს პროპორცია შეიძლება აშენდეს შემდეგნაირად:

B წერტილიდან აღვადგენთ AB ნახევრის ტოლ პერპენდიკულარს. მიღებულ წერტილს C აკავშირებს წრფით A წერტილთან. მიღებულ წრფეზე ვდებთ BC სეგმენტს, რომელიც მთავრდება D წერტილით. AD სეგმენტი გადადის AB წრფეზე. შედეგად მიღებული წერტილი E ყოფს AB სეგმენტს ოქროს პროპორციით.

ოქროს თანაფარდობის თვისებები აღწერილია განტოლებით: x*x – x – 1 = 0.

ამ განტოლების ამოხსნა:

ბუნებაში ასევე აღმოაჩინეს მეორე ოქროს თანაფარდობა, რომელიც გამომდინარეობს ძირითადი მონაკვეთიდან და იძლევა სხვა თანაფარდობას 44:56. ეს პროპორცია აღმოაჩინეს არქიტექტურაში და ასევე გვხვდება წაგრძელებული ჰორიზონტალური ფორმატის გამოსახულების კომპოზიციების აგებისას.

ჩვენ ამ სეგმენტს AB ვყოფთ ოქროს მონაკვეთის პროპორციულად. C წერტილიდან აღვადგენთ პერპენდიკულარულ CD-ს. AB რადიუსის გამოყენებით ვპოულობთ D წერტილს, შემდეგ ხაზს ვუკავშირებთ A წერტილს. სწორი კუთხე ACD გავყავით შუაზე. C წერტილიდან ვხატავთ ხაზს AD-ის კვეთამდე. მიღებულ წერტილს ვუწოდოთ ასო E, რომელიც ყოფს AD სეგმენტს 44:56 თანაფარდობით.

ფიგურაში ნაჩვენებია მეორე ოქროს თანაფარდობის ხაზის პოზიცია. იგი მდებარეობს შუა გზაზე ოქროს თანაფარდობის ხაზსა და ოთხკუთხედის შუა ხაზს შორის.

თუ კვადრატი AEFD იზოლირებულია ოქროს მართკუთხედიდან ABCD, მაშინ დარჩენილი ნაწილი EBCF აღმოჩნდება ახალი ოქროს მართკუთხედი, რომელიც კვლავ შეიძლება დაიყოს კვადრატულ GHCF და პატარა ოქროს ოთხკუთხედად EBHG. ამ პროცედურის მრავალჯერ გამეორებით მივიღებთ კვადრატებისა და ოქროს მართკუთხედების უსასრულო თანმიმდევრობას, რომლებიც საბოლოოდ ხვდებიან O წერტილს. გაითვალისწინეთ, რომ იგივე გეომეტრიული ფიგურების ასეთი გაუთავებელი გამეორება, ანუ კვადრატი და ოქროს მართკუთხედი გვაძლევს. რიტმისა და ჰარმონიის არაცნობიერი ესთეტიკური გრძნობა. მიჩნეულია, რომ სწორედ ეს გარემოებაა იმის მიზეზი, რომ ბევრ მართკუთხა ფორმის საგანს, რომლებთანაც საქმე აქვს ადამიანს (ასანთის ყუთები, სანთებელა, წიგნები, ჩემოდნები) ხშირად ოქროს მართკუთხედის ფორმა აქვს. მაგალითად, ყოველდღიურ ცხოვრებაში ფართოდ ვიყენებთ საკრედიტო ბარათებს, მაგრამ ყურადღებას არ ვაქცევთ იმას, რომ ხშირ შემთხვევაში საკრედიტო ბარათები ოქროს მართკუთხედის ფორმისაა.

ოქროს მართკუთხედი და საკრედიტო ბარათი

პენტაგრამი და პენტაგონი

თუ პენტაგრამაში ყველა დიაგონალს დავხატავთ, შედეგი იქნება ცნობილი ხუთკუთხა ვარსკვლავი. დადასტურებულია, რომ პენტაგრამაში დიაგონალების გადაკვეთის წერტილები ყოველთვის არის დიაგონალების ოქროს თანაფარდობის წერტილები. ამ შემთხვევაში, ეს წერტილები ქმნიან ახალ პენტაგრამას FGHKL. ახალ პენტაგრამაში შეიძლება დაიხაზოს დიაგონალები, რომელთა კვეთა ქმნის სხვა პენტაგრამას და ეს პროცესი შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ამრიგად, პენტაგრამა ABCDE, როგორც ჩანს, შედგება უსასრულო რაოდენობის პენტაგრამებისგან, რომლებიც ყოველ ჯერზე იქმნება დიაგონალების გადაკვეთის წერტილებით. იგივე გეომეტრიული ფიგურის გაუთავებელი გამეორება ქმნის რიტმისა და ჰარმონიის განცდას, რომელიც ქვეცნობიერად არის ჩაწერილი ჩვენი გონებით. პენტაგრამა განსაკუთრებით აღფრთოვანებული იყო პითაგორელთა მიერ და ითვლებოდა მათ მთავარ საიდენტიფიკაციო ნიშნად. აშშ-ს სამხედრო დეპარტამენტის შენობას პენტაგრამის ფორმა აქვს და მას "პენტაგონი" ჰქვია, რაც ჩვეულებრივ ხუთკუთხედს ნიშნავს.

ასე რომ, მე გითხარით, რა არის ოქროს თანაფარდობა და ახლა, რადგან ჩემი ანგარიში ეძღვნება ოქროს კვეთის გამოყენებას, ახლა ამაზე ვისაუბრებ.

კურდღლის პრობლემა. ფიბონაჩის რიცხვები.

კურდღლის პრობლემა

ვიღაცამ მოათავსა კურდღლის წყვილი გარკვეულ ადგილას, ყველა მხრიდან კედლით შემოღობილი, რათა გაერკვია, რამდენი წყვილი კურდღელი დაიბადება წლის განმავლობაში, თუ კურდღლის ბუნება ისეთია, რომ ერთი თვის შემდეგ კურდღლის წყვილი იძლევა. დაბადება კიდევ ერთი წყვილი და კურდღლები მშობიარობენ მისი დაბადებიდან მეორე თვიდან.

გასაგებია, რომ თუ კურდღლის პირველ წყვილს ახალშობილად მივიჩნევთ, მეორე თვეში მაინც გვეყოლება ერთი წყვილი; მე-3 თვისთვის - 1+1=2; მე-4 თვეში - 2 + 1 = 3 წყვილი (ორი არსებული წყვილის გამო მხოლოდ ერთი წყვილი შობს შთამომავლობას); მე-5 თვეში - 3+2=5 წყვილი (მხოლოდ მე-3 თვეში დაბადებული 2 წყვილი შთამომავლობას გააჩენს მე-5 თვეს); მე-6 თვეში - 5 + 3 = 8 წყვილი (რადგან მხოლოდ მე-4 თვეში დაბადებული წყვილები გამოიყვანენ შთამომავლობას) და ა.შ.

ამ ამოცანიდან მოჰყვა ნატურალური რიცხვების მიმდევრობის გარკვეული სერიის აღმოჩენა, რომლის თითოეული წევრი, მესამედან დაწყებული, უდრის წინა ორი წევრის ჯამს: Uk = 1,1,2,3,5,8. ,13,21,34,55,89,144,233,377,. ამ მიმდევრობას ფიბონაჩის მიმდევრობა ეწოდება, მის წევრებს კი ფიბონაჩის რიცხვები. სერიის შემდეგი წევრის თანაფარდობა წინასთან მიდრეკილია ოქროს თანაფარდობისკენ

ალგებრაში იგი ჩვეულებრივ აღინიშნება ბერძნული ასოთი ფი.

ოქროს თანაფარდობა არც ადამიანებს გვერდი აუარა.

ოქროს თანაფარდობა არის საფუძველი ჰარმონიული ფორმების ასაგებად, რადგან ეს არის ბუნებაში ფორმის ფორმირების აბსოლუტური კანონი, რომლის ნაწილიც ჩვენ ვართ. ჰარმონიის კანონები რიცხვითი კანონებია.

ჩვეულებრივი ადამიანის მოდელირებისას, ჩვენ დიდი ალბათობით არ ვიღებთ სახაზავს და კალკულატორს ოქროს პროპორციების გამოსათვლელად. ჩვენ უბრალოდ ინტუიციურად ვგრძნობთ ამ ფორმებს, რადგან ადამიანის ფორმები ჩვენს თვალში უფრო ხშირად გვხვდება, ვიდრე სხვა ყველაფერი, მაგრამ უჩვეულო არსების, მცენარის, სტრუქტურის მოდელის შექმნისას უნდა გამოვიყენოთ ცოდნა გეომეტრიისა და ოქროს თანაფარდობის შესახებ, რათა სამუშაოს შედეგს შეიძლება ზიზღის გარეშე შეხედო, თუმცა თუ ზიზღის გრძნობას ეძებ, მაშინ იცი რა უნდა გააკეთო.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ბუნების კანონების (რიცხობრივი კანონების) ცოდნა გვეხმარება სასურველი შედეგის რაც შეიძლება სწრაფად მიღწევაში.

გერმანელმა პროფესორმა ზაისინგმა დიდი სამუშაო გააკეთა მე-18 საუკუნის შუა წლებში: მან გაზომა 2000-ზე მეტი სხეული და თქვა, რომ ოქროს თანაფარდობა გამოხატავს საშუალო სტატისტიკურ კანონს: სხეულის დაყოფა ჭიპის წერტილზე არის ოქროს თანაფარდობის ერთ-ერთი მთავარი მაჩვენებელი. . მამაკაცის სხეულის პროპორციები მერყეობს საშუალო თანაფარდობის ფარგლებში 13: 8 = 1,625 და გარკვეულწილად უფრო ახლოს არის ოქროს თანაფარდობასთან, ვიდრე ქალის სხეულის პროპორციები, რომელთა მიმართ პროპორციის საშუალო მნიშვნელობა გამოიხატება თანაფარდობით 8: 5 = 1.6. ახალშობილში პროპორცია არის 1:1, 13 წლის ასაკში 1,6, ხოლო 21 წლის ასაკში მამაკაცის ტოლია. ოქროს თანაფარდობის პროპორციები ჩნდება სხეულის სხვა ნაწილებთან მიმართებაშიც - მხრის, წინამხრის და ხელის სიგრძე, ხელი და თითები და ა.შ.

მცირეწლოვან ბავშვებში (დაახლოებით ერთი წლის ასაკში) პროპორცია არის 1:1.

ახლახან ჩვენმა თანამედროვემ, ამერიკელმა ქირურგმა სტივენ მარკვარტმა „ოქროს თანაფარდობის“ პრინციპის გამოყენებით შექმნა გეომეტრიული ნიღაბი, რომელიც შეიძლება იყოს სტანდარტი ლამაზი სახისთვის. იმის გასარკვევად, შეესაბამება თუ არა სახე იდეალს, უბრალოდ დააკოპირეთ ნიღაბი გამჭვირვალე ფილმზე და გადაფარეთ შესაბამისი ზომის ფოტოზე.

ასე რომ, გვირგვინსა და ადამის ვაშლს შორის სეგმენტის გაყოფა „ოქროს მონაკვეთთან“ მიმართებაში, მივიღებთ წერტილს, რომელიც მდებარეობს წარბების ხაზზე (B). შედეგად მიღებული ნაწილების შემდგომი ოქროს გაყოფით, თანმიმდევრულად ვიღებთ ცხვირის წვერს (C), ნიკაპის ბოლოს (D).

ოქროს თანაფარდობა ადამიანის ყურში.

ადამიანის შიდა ყურში არის ორგანო, სახელად კოხლეა ("ლოკოკინა"), რომელიც ასრულებს ხმის ვიბრაციის გადაცემის ფუნქციას. ეს ძვლოვანი სტრუქტურა ივსება სითხით და ასევე აქვს ლოკოკინას ფორმა, რომელიც შეიცავს სტაბილურ ლოგარითმულ სპირალურ ფორმას = 73º 43'.

მას შემდეგ, რაც ოქროს თანაფარდობა შეეხო ადამიანს, ვიტყვი, რომ ის არის დნმ-ის მოლეკულის სტრუქტურაშიც კი.

ცოცხალი არსებების ფიზიოლოგიური მახასიათებლების შესახებ ყველა ინფორმაცია ინახება მიკროსკოპული დნმ-ის მოლეკულაში, რომლის სტრუქტურა ასევე შეიცავს ოქროს პროპორციის კანონს. დნმ-ის მოლეკულა შედგება ორი ვერტიკალურად გადახლართული სპირალისგან. თითოეული ამ სპირალის სიგრძეა 34 ანგსტრომი, ხოლო სიგანე 21 ანგსტრომი. (1 ანგსტრომი არის სანტიმეტრის ას მემილიონედი). ასე რომ, 21 და 34 არის რიცხვები, რომლებიც მიჰყვებიან ერთმანეთს ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობით, ანუ დნმ-ის მოლეკულის ლოგარითმული სპირალის სიგრძისა და სიგანის თანაფარდობა ატარებს ოქროს თანაფარდობის ფორმულას 1:1.618.

თითოეულ ჩვენგანს, ცხოვრებაში ერთხელ მაინც, ნამყოფია ზღვაზე და ხელში სპირალის ფორმის ჭურვი ეჭირა. აბა, აი, ეს არის: ასეთი ჭურვი სპირალურად არის დაგრეხილი. თუ გაშლით, გველის სიგრძეზე ოდნავ მოკლე სიგრძე მიიღებთ. პატარა ათი სანტიმეტრიან გარსს აქვს 35 სმ სიგრძის სპირალი.სპირალები ბუნებაში ძალიან გავრცელებულია. ოქროს კვეთის იდეა არასრული იქნება სპირალზე საუბრის გარეშე.

არქიმედეს სპირალი

სპირალურად დახვეული ჭურვის ფორმამ არქიმედეს ყურადღება მიიპყრო. მან შეისწავლა და მოიფიქრა სპირალის განტოლება. ამ განტოლების მიხედვით დახატულ სპირალს მისი სახელი ჰქვია. მისი ნაბიჯის ზრდა ყოველთვის ერთგვაროვანია. ამჟამად არქიმედეს სპირალი ფართოდ გამოიყენება ტექნოლოგიაში.

ოქროს თანაფარდობა ფერწერასა და ფოტოგრაფიაში.

ფოტოგრაფიაში

როდესაც გვსურს ლამაზი ფოტოს გადაღება, ხშირად ვამჩნევთ, რომ არ ვიცით როგორ მოვაწყოთ საგნები გონებრივად ისე, რომ მოგვიანებით ისინი საუკეთესოდ გამოიყურებოდეს დასრულებულ ფოტოში. ამაში დაგვეხმარება ოქროს თანაფარდობის წესი. ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გამოყენებით, ჩვენ გონებრივად ვყოფთ მნახველს ცხრა იდენტურ სექტორად. ჩვენთვის მთავარი იქნება ჰორიზონტალური და ვერტიკალური ხაზების გადაკვეთის ოთხი ცენტრალური წერტილი.

ოქროს თანაფარდობის წესის პრაქტიკული გამოყენება ჩარჩოს შედგენისას.

ქვემოთ მოცემულია სხვადასხვა ვარიანტები ბადეებისთვის, რომლებიც შექმნილია „ზლოტის განყოფილების“ წესის საფუძველზე, სხვადასხვა კომპოზიციური ვარიანტებისთვის. პრინციპების გასაგებად, თქვენ უნდა ჩაატაროთ საკუთარი ექსპერიმენტი, სცადოთ და დააკავშიროთ ბადეები თქვენს ფოტოებთან. ძირითადი ბადეები ასე გამოიყურება:

გთავაზობთ კატის ფოტოს, რომელიც მოთავსებულია ჩარჩოში შემთხვევით ადგილას.

ახლა მოდით პირობითად დავყოთ ჩარჩო სეგმენტებად, კადრის თითოეული მხრიდან 1,62 მთლიანი სიგრძის პროპორციით. სეგმენტების კვეთაზე იქნება მთავარი „ვიზუალური ცენტრები“, რომლებშიც ღირს გამოსახულების აუცილებელი ძირითადი ელემენტების განთავსება.

გადავიტანოთ ჩვენი კატა „ვიზუალური ცენტრების“ წერტილებზე.

ასე გამოიყურება ახლა კომპოზიცია. ბევრად უკეთესი არ არის?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ოქროს თანაფარდობის არსი, შეეცადეთ გადაიღოთ რამდენიმე ფოტო ბაღის სკამზე მჯდომი ადამიანისგან. დარწმუნდით, რომ ყველაზე ჰარმონიული ფოტო იქნება ის, რომელშიც ადამიანი ზის არა ცენტრში ან კიდეზე, არამედ ოქროს თანაფარდობის შესაბამის წერტილში (სკამის დაყოფა დაახლოებით 2:3 თანაფარდობით).

ფერწერაში

ძველი საბერძნეთის ოსტატებმა, რომლებმაც შეგნებულად იცოდნენ ოქროს პროპორციის გამოყენება, რომელიც, არსებითად, ძალიან მარტივია, ოსტატურად გამოიყენეს მისი ჰარმონიული ღირებულებები ხელოვნების ყველა სახეობაში და მიაღწიეს ასეთ სრულყოფილებას მათი სოციალური იდეალების გამოხატვის ფორმების სტრუქტურაში. , რაც იშვიათად გვხვდება მსოფლიო ხელოვნების პრაქტიკაში. მთელი უძველესი კულტურა ოქროს პროპორციის ნიშნით გაიარა. მათ იცოდნენ ეს პროპორცია ძველ ეგვიპტეში. ამას ვაჩვენებ ისეთი მხატვრების მაგალითზე, როგორებიცაა: რაფაელი, ლეონარდო და ვინჩი, ბოტიჩელი, შიშკინი.

რაფაელის მოსამზადებელ ჩანახატში წითელი ხაზებია გამოსახული კომპოზიციის სემანტიკური ცენტრიდან - ადგილიდან, სადაც მეომრის თითები იხურება ბავშვის ტერფის ირგვლივ - ბავშვის ფიგურების გასწვრივ, ქალი, რომელიც მას ახლოს უჭირავს, მეომარი აწეული მახვილით, შემდეგ კი იმავე ჯგუფის ფიგურების გასწვრივ მარჯვენა მხარეს ესკიზი. თუ თქვენ ბუნებრივად დააკავშირებთ ამ ნაწილებს მრუდი წერტილოვანი ხაზით, მაშინ მიიღებთ ძალიან ზუსტ შედეგებს. ოქროს სპირალი! ეს შეიძლება შემოწმდეს სპირალით მოჭრილი სეგმენტების სიგრძის თანაფარდობის გაზომვით სწორ ხაზებზე, რომლებიც გადიან მრუდის დასაწყისში. "უდანაშაულოების ხოცვა" რაფაელი

ცნობილ ფრესკაში "ათენის სკოლა", სადაც მეცნიერების ტაძარში არის ანტიკური ხანის დიდი ფილოსოფოსების საზოგადოება, ჩვენი ყურადღება მიიპყრო უძველესი ბერძენი მათემატიკოსის ევკლიდეს ჯგუფი, რომელიც აანალიზებს რთულ ნახატს. ორი სამკუთხედის გენიალური კომბინაცია ასევე აგებულია ოქროს თანაფარდობის პროპორციის შესაბამისად: ის შეიძლება ჩაიწეროს მართკუთხედში, ასპექტის თანაფარდობით 5/8. ეს ნახატი საოცრად ადვილია ჩასმა არქიტექტურის ზედა ნაწილში. სამკუთხედის ზედა კუთხე ეყრდნობა თაღის ქვაბს მნახველთან ყველაზე ახლოს მდებარე მიდამოში, ქვედა კუთხე ეხება პერსპექტივების გაქრობის წერტილს, ხოლო გვერდითი მონაკვეთი მიუთითებს თაღების ორ ნაწილს შორის სივრცითი უფსკრულის პროპორციებზე. .

Ლეონარდო და ვინჩი

ლეონარდო და ვინჩის მონა ლიზას (La Gioconda) პორტრეტი მიმზიდველია, რადგან სურათის კომპოზიცია აგებულია „ოქროს სამკუთხედებზე“, უფრო სწორედ სამკუთხედებზე, რომლებიც ჩვეულებრივი ვარსკვლავის ფორმის ხუთკუთხედის ნაჭრებია.

"უკანასკნელი ვახშამი" ლეონარდოს ყველაზე მომწიფებული და სრულყოფილი ნამუშევარია. ამ ნახატში ოსტატი გაურბის ყველაფერს, რამაც შეიძლება დაჩრდილოს მის მიერ გამოსახული მოქმედების ძირითადი მიმდინარეობა; იგი აღწევს კომპოზიციური გადაწყვეტის იშვიათ დამაჯერებლობას. ცენტრში ის ათავსებს ქრისტეს ფიგურას, ხაზს უსვამს მას კარის გაღებით. ის განზრახ აშორებს მოციქულებს ქრისტესგან, რათა კიდევ უფრო გაუსვას ხაზი კომპოზიციაში თავის ადგილს. დაბოლოს, იმავე მიზნით, ის აიძულებს ყველა პერსპექტიულ ხაზს გადაიზარდოს ქრისტეს თავზე პირდაპირ წერტილში. ლეონარდო თავის სტუდენტებს ყოფს ოთხ სიმეტრიულ ჯგუფად, სავსე სიცოცხლითა და მოძრაობით. სუფრას პატარა ხდის, სატრაპეზოს კი - მკაცრი და მარტივი. ეს მას საშუალებას აძლევს, მაყურებლის ყურადღება გაამახვილოს უზარმაზარი პლასტიკური ძალის მქონე ფიგურებზე. ყველა ეს ტექნიკა ასახავს შემოქმედებითი გეგმის ღრმა მიზანმიმართულობას, რომელშიც ყველაფერი აწონ-დაწონილია და გათვალისწინებულია. "

ბოტიჩელი - "ვენერას დაბადება"

ნახატზე ასახულია არა თავად ქალღმერთის დაბადება, არამედ ის მომენტი, რომელიც მოჰყვა, როდესაც იგი ჰაერის გენიოსების სუნთქვით ამოძრავებული, ნაპირს აღწევს, სადაც მას ერთ-ერთი მადლი ხვდება. ძველი ბერძენი პოეტი ჰესიოდის (თეოგონია, 188-200) მიხედვით, ვენერა დაიბადა ზღვიდან - კრონოსის მიერ წყალში ჩაგდებული კასტრირებული ურანის (SATURN) სასქესო ორგანოების მიერ წარმოქმნილი ქაფისგან. ის ნაპირზე მიცურავს ღია გარსში, რომელსაც ამოძრავებს რბილი ნიავი და ბოლოს დაეშვება პაფოსში (კვიპროსი) - ანტიკურ ხანაში თაყვანისცემისა და კულტის ერთ-ერთი მთავარი ადგილი. მისი ბერძნული სახელი აფროდიტე შეიძლება მომდინარეობდეს აფროსისგან, რაც ნიშნავს "ქაფს".

კუნძულ კიტერასთან ახლოს ზღვის ტალღების თოვლივით თეთრი ქაფიდან დაიბადა ურანის ქალიშვილი აფროდიტე. მსუბუქმა, მზრუნველმა ნიავმა ის კუნძულ კვიპროსზე მიიყვანა. იქ ახალგაზრდა ორასი გარშემორტყმული იყო სიყვარულის ქალღმერთს, რომელიც აღმოცენდა ზღვის ტალღებიდან. ოქროს ნაქსოვი სამოსი ჩააცვეს და სურნელოვანი ყვავილების გვირგვინით დააგვირგვინეს. სადაც აფროდიტე დააბიჯებდა, ყვავილები საუცხოოდ იზრდებოდა. მთელი ჰაერი სურნელებით იყო სავსე. ეროსი და ჰიმეროტი საოცარ ქალღმერთს ოლიმპოსამდე მიჰყავდათ. ღმერთებმა ხმამაღლა მიესალმა. მას შემდეგ ოქროს აფროდიტე, სამუდამოდ ახალგაზრდა, ქალღმერთთა შორის ყველაზე ლამაზი, ყოველთვის ცხოვრობდა ოლიმპოს ღმერთებს შორის.

ი.ი.შიშკინის ამ ცნობილ ნახატში აშკარად ჩანს ოქროს თანაფარდობის მოტივები. მზით განათებული ფიჭვი (წინა პლანზე დგას) ნახატის სიგრძეს ოქროს თანაფარდობის მიხედვით ყოფს. ფიჭვის ხის მარჯვნივ არის მზისგან განათებული ბორცვი. იგი ჰორიზონტალურად ყოფს სურათის მარჯვენა მხარეს ოქროს თანაფარდობის მიხედვით. მთავარი ფიჭვის მარცხნივ არის მრავალი ფიჭვი - სურვილის შემთხვევაში შეგიძლიათ წარმატებით გააგრძელოთ სურათის დაყოფა ოქროს თანაფარდობის მიხედვით შემდგომში.

კაშკაშა ვერტიკალებისა და ჰორიზონტლების სურათში არსებობა, მისი დაყოფა ოქროს თანაფარდობასთან მიმართებაში, აძლევს მას წონასწორობისა და სიმშვიდის ხასიათს, მხატვრის განზრახვის შესაბამისად. როდესაც მხატვრის განზრახვა განსხვავებულია, თუ, ვთქვათ, ის ქმნის სურათს სწრაფად განვითარებადი მოქმედებით, ასეთი გეომეტრიული კომპოზიციური სქემა (ვერტიკალისა და ჰორიზონტალური უპირატესობით) მიუღებელი ხდება.

ოქროს თანაფარდობა არქიტექტურაში

არქიტექტურა არის ჩვენი ცნობიერების უნარი, გააძლიეროს ეპოქის განცდა მატერიალურ ფორმებში. ლე კორბუზიე

ძველი ბერძნული არქიტექტურის ერთ-ერთი ულამაზესი ნამუშევარია პართენონი (ძვ. წ. V ს.).

ფიგურაში ნაჩვენებია რამდენიმე ნიმუში, რომელიც დაკავშირებულია ოქროს თანაფარდობასთან.

პართენონის იატაკის გეგმაზე ასევე შეგიძლიათ იხილოთ "ოქროს ოთხკუთხედები":

პარიზის ღვთისმშობლის ტაძრის შენობის პროპორციებში ჩვენ ასევე ვხედავთ ოქროს პროპორციას.

მ. კაზაკოვმა საკმაოდ ფართოდ გამოიყენა „ოქროს თანაფარდობა“ თავის შემოქმედებაში.

მისი ნიჭი მრავალმხრივი იყო, მაგრამ ის უფრო მეტად გამოვლინდა საცხოვრებელი კორპუსებისა და მამულების მრავალრიცხოვან დასრულებულ პროექტებში. მაგალითად, „ოქროს თანაფარდობა“ გვხვდება კრემლში სენატის შენობის არქიტექტურაში.

ბევრი უძველესი მოქანდაკე თავისი ნამუშევრების აგებისას იყენებდა ოქროს პროპორციის წესს.

განვიხილოთ ეს აპოლონ ბელვედერის ქანდაკების მაგალითის გამოყენებით: ჭიპის ხაზი ყოფს გამოსახული ადამიანის სიმაღლეს ოქროს თანაფარდობასთან მიმართებაში.

და კიდევ რამდენიმე მაგალითი იმის დასამტკიცებლად, რომ ჩვენ ვაკვირდებით ოქროს თანაფარდობას ქანდაკებაში.

პოლიკლეიტოსის დორიფორე და მისი ჰარმონიული ანალიზი

მილოს ვენერა და მისი ჰარმონიული ანალიზი

მიქელანჯელოს დავითი

6. ოქროს თანაფარდობა ცოცხალ ბუნებაში

სამყაროში ყველაფერი დაკავშირებულია ერთ საწყისთან:

ტალღების მოძრაობაში - შექსპირის სონეტი,

ყვავილის სიმეტრიაში არის სამყაროს საფუძვლები,

და ჩიტების სიმღერაში არის პლანეტების სიმფონია.

ცოცხალი ბუნება თავის განვითარებაში ცდილობდა ყველაზე ჰარმონიული ორგანიზაციისკენ, რომლის კრიტერიუმია ოქროს პროპორცია, რომელიც ვლინდება სხვადასხვა დონეზე - ატომური კომბინაციებიდან უმაღლესი ცხოველების სხეულების სტრუქტურამდე.

მზესუმზირის ყვავილები და თესლი, გვირილა, ქერცლები ანანასის ნაყოფებში, წიწვოვანი გირჩები "შეფუთულია" ლოგარითმულ სპირალებში, ხვეული ერთმანეთისკენ. უფრო მეტიც, "მარჯვენა" და "მარცხენა" სპირალების რიცხვები ყოველთვის ეხება ერთმანეთს, ისევე როგორც მეზობელი ფიბონაჩის რიცხვები.

მრავალი მცენარის ფოთლების მოწყობის (ფილოტაქსისის) ფორმულებში არის ფიბონაჩის რიცხვები, რომლებიც განლაგებულია მკაცრად რეგულარულად - ერთის მეშვეობით, მაგალითად, თხილი -1/3, მუხა, ალუბალი - 2/5, ზღვის წიწაკა -5/13.

განვიხილოთ ვარდკაჭაჭას გასროლა. ძირითადი ღეროდან ჩამოყალიბდა გასროლა. პირველი ფოთოლი სწორედ იქ იყო განთავსებული. გასროლა ძლიერად აფრქვევს სივრცეში, ჩერდება, ათავისუფლებს ფოთოლს, მაგრამ ამჯერად ის უფრო მოკლეა ვიდრე პირველი, ისევ აფრქვევს სივრცეში, მაგრამ ნაკლები ძალით, ათავისუფლებს კიდევ უფრო მცირე ზომის ფოთოლს და ისევ ამოდის. .

თუ პირველი გამონაბოლქვი 100 ერთეულია, მაშინ მეორე უდრის 62 ერთეულს, მესამე – 38, მეოთხე – 24 და ა.შ. ოქროს პროპორციას ექვემდებარება ფურცლების სიგრძეც. ზრდისა და სივრცის დაპყრობისას მცენარე ინარჩუნებდა გარკვეულ პროპორციებს. მისი ზრდის იმპულსები თანდათან მცირდებოდა ოქროს თანაფარდობის პროპორციულად.

ბევრმა პეპელამ და სხვა მწერმა ვერ აიცილა შეჯახება ოქროს თანაფარდობის ამ შესანიშნავ, ჩემი აზრით, ფენომენთან. სხეულის გულმკერდისა და მუცლის ნაწილების ზომების თანაფარდობა შეესაბამება ოქროს პროპორციას. ფრთების დაკეცვით, თითი ქმნის რეგულარულ ტოლგვერდა სამკუთხედს. მაგრამ როგორც კი ის ფრთებს გაშლის, დაინახავთ სხეულის 2,3,5,8-ზე გაყოფის იგივე პრინციპს. ჭრიჭინა ასევე იქმნება ოქროს პროპორციის კანონების მიხედვით: კუდისა და სხეულის სიგრძის თანაფარდობა ტოლია მთლიანი სიგრძის კუდის სიგრძესთან.

ფიფქები წყლის კრისტალებია, რომლებიც შეუიარაღებელი თვალით ჩანს. ისინი წარმოუდგენლად ლამაზი და განსხვავებული ფორმისაა, მაგრამ მათი ყველა კომპონენტი გეომეტრიული ფორმებია და ასევე, გამონაკლისის გარეშე, აგებულია ოქროს პროპორციის პრინციპზე.

ოქროს თანაფარდობა პოეზიასა და მუსიკაზეც კი იმოქმედა.

პოეზიაში

თითოეული ლექსის სტრუქტურაში არ შეიძლება არ შევამჩნიოთ გარკვეული ნიმუშები და, შესაბამისად, არის ოქროს პროპორცია და ფიბონაჩის რიცხვები. A.S. პუშკინის ყოველი მეორე ლექსი შეიცავს ოქროს თანაფარდობის მაგალითს (ნიმუშს). და სარკის სიმეტრიის ნიმუში (ნიმუში) არის ყოველ მესამედში. ორი ნიმუშიდან ერთი გვხვდება სამი ლექსიდან ორში (524 ან 66%) და ორივე ნიმუში გვხვდება ყოველ მეხუთე ლექსში (150 ან 19%).

პუშკინის ნამუშევრებში ოქროს მონაკვეთის ძირითადი ფუნქციებია:

}