Rasio emas. Berapa rasio emasnya? Apa prinsip rasio emas?

Harmoni ini sangat mencolok dalam skalanya...

Halo teman teman!

Pernahkah Anda mendengar tentang Harmoni Ilahi atau Rasio Emas? Pernahkah Anda memikirkan mengapa sesuatu tampak ideal dan indah bagi kita, tetapi ada sesuatu yang membuat kita jijik?

Jika belum maka anda berhasil datang ke artikel ini, karena di dalamnya kita akan membahas tentang rasio emas, mengetahui apa itu, seperti apa di alam dan pada manusia. Mari kita bahas prinsip-prinsipnya, cari tahu apa itu deret Fibonacci dan masih banyak lagi, termasuk konsep persegi panjang emas dan spiral emas.

Iya artikelnya banyak gambarnya, rumusnya, lagipula rasio emasnya juga matematika. Namun semuanya dijelaskan dalam bahasa yang cukup sederhana, jelas. Dan di akhir artikel Anda akan mengetahui mengapa semua orang sangat menyukai kucing =)

Berapa rasio emasnya?

Sederhananya, rasio emas adalah aturan proporsi tertentu yang menciptakan harmoni?. Artinya, jika kita tidak melanggar aturan proporsi tersebut, maka kita mendapatkan komposisi yang sangat harmonis.

Definisi rasio emas yang paling komprehensif menyatakan bahwa bagian yang lebih kecil berhubungan dengan bagian yang lebih besar, dan bagian yang lebih besar berhubungan dengan keseluruhan.

Namun selain itu, rasio emas adalah matematika: ia memiliki rumus tertentu dan angka tertentu. Banyak ahli matematika, secara umum, menganggapnya sebagai rumus harmoni ilahi, dan menyebutnya “simetri asimetris”.

Rasio emas telah mencapai orang-orang sezaman kita sejak zaman Yunani Kuno, namun ada pendapat bahwa orang Yunani sendiri sudah melihat rasio emas di antara orang Mesir. Karena banyak karya seni Mesir Kuno yang jelas-jelas dibangun menurut kanon proporsi ini.

Pythagoras diyakini sebagai orang pertama yang memperkenalkan konsep rasio emas. Karya Euclid bertahan hingga hari ini (dia menggunakan rasio emas untuk membangun segi lima biasa, itulah sebabnya segi lima seperti itu disebut "emas"), dan jumlah rasio emas dinamai menurut nama arsitek Yunani kuno Phidias. Artinya, ini adalah angka kita "phi" (dilambangkan dengan huruf Yunani φ), dan sama dengan 1.6180339887498948482... Tentu saja, nilai ini dibulatkan: φ = 1.618 atau φ = 1.62, dan dalam persentase rasio emas sepertinya 62% dan 38%.

Apa yang unik dari proporsi ini (dan percayalah, proporsi ini memang ada)? Pertama-tama mari kita coba mencari tahu menggunakan contoh segmen. Jadi, kita mengambil sebuah segmen dan membaginya menjadi bagian-bagian yang tidak sama sedemikian rupa sehingga bagian yang lebih kecil berhubungan dengan bagian yang lebih besar, sebagaimana bagian yang lebih besar berhubungan dengan keseluruhan. Saya paham, masih belum begitu jelas apa itu apa, saya coba ilustrasikan lebih jelas menggunakan contoh segmen:

Jadi, kita ambil sebuah ruas dan membaginya menjadi dua ruas lainnya, sehingga ruas a yang lebih kecil berhubungan dengan ruas b yang lebih besar, seperti halnya ruas b berhubungan dengan keseluruhan, yaitu seluruh garis (a + b). Secara matematis terlihat seperti ini:

Aturan ini berlaku tanpa batas waktu; Anda dapat membagi segmen selama yang Anda suka. Dan lihat betapa sederhananya itu. Hal utama adalah memahaminya sekali dan itu saja.

Namun sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks, yang sangat sering kita jumpai, karena rasio emas juga direpresentasikan dalam bentuk persegi panjang emas (rasio aspeknya adalah φ = 1,62). Ini adalah persegi panjang yang sangat menarik: jika kita “memotong” persegi darinya, kita akan mendapatkan persegi panjang emas lagi. Dan seterusnya tanpa henti. Melihat:

Namun matematika tidak akan menjadi matematika jika tidak ada rumusnya. Nah sob, sekarang akan sedikit “sakit”. Saya menyembunyikan solusi rasio emas di bawah spoiler; ada banyak rumus, tetapi saya tidak ingin meninggalkan artikel tanpa rumus tersebut.

Deret Fibonacci dan rasio emas

Kami terus menciptakan dan mengamati keajaiban matematika dan rasio emas. Di Abad Pertengahan ada kawan seperti itu - Fibonacci (atau Fibonacci, di mana-mana mereka mengejanya berbeda-beda). Dia menyukai matematika dan soal, dia juga punya soal menarik dengan reproduksi kelinci =) Tapi bukan itu intinya. Ia menemukan barisan bilangan, bilangan-bilangan di dalamnya disebut “bilangan Fibonacci”.

Urutannya sendiri terlihat seperti ini:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... dan seterusnya ad infinitum.

Dengan kata lain, deret Fibonacci adalah deret angka yang setiap angka berikutnya sama dengan jumlah dua angka sebelumnya.

Apa hubungannya rasio emas dengan itu? Anda akan lihat sekarang.

Spiral Fibonacci

Untuk melihat dan merasakan keseluruhan hubungan antara deret angka Fibonacci dan rasio emas, Anda perlu melihat kembali rumusnya.

Dengan kata lain, dari suku ke-9 deret Fibonacci kita mulai memperoleh nilai rasio emas. Dan jika kita memvisualisasikan gambaran keseluruhan ini, kita akan melihat bagaimana deret Fibonacci menciptakan persegi panjang yang semakin dekat ke persegi panjang emas. Inilah hubungannya.

Sekarang mari kita bicara tentang spiral Fibonacci, yang juga disebut “spiral emas”.

Spiral emas adalah spiral logaritmik yang koefisien pertumbuhannya adalah φ4, dengan φ adalah rasio emas.

Secara umum, dari sudut pandang matematika, rasio emas merupakan proporsi yang ideal. Tapi ini hanyalah awal dari keajaibannya. Hampir seluruh dunia tunduk pada prinsip rasio emas; alam sendiri yang menciptakan proporsi ini. Bahkan para esoteris melihat kekuatan numerik di dalamnya. Namun hal ini pasti tidak akan kami bahas pada artikel kali ini, jadi agar tidak ketinggalan apapun, Anda bisa berlangganan update situs.

Rasio emas di alam, manusia, seni

Sebelum kita mulai, saya ingin mengklarifikasi sejumlah ketidakakuratan. Pertama, definisi rasio emas dalam konteks ini tidak sepenuhnya benar. Faktanya adalah bahwa konsep "penampang" adalah istilah geometris, yang selalu menunjukkan bidang, tetapi bukan barisan bilangan Fibonacci.

Dan yang kedua, deret bilangan dan perbandingan satu dengan yang lain tentunya telah diubah menjadi semacam stensil yang bisa diterapkan pada segala sesuatu yang terkesan mencurigakan, dan seseorang bisa sangat senang bila ada kebetulan, tapi tetap saja , akal sehat tidak boleh hilang.

Namun, “semuanya bercampur aduk di kerajaan kami” dan yang satu menjadi identik dengan yang lain. Jadi, secara umum, maknanya tidak hilang dari sini. Sekarang mari kita mulai berbisnis.

Anda akan terkejut, tetapi rasio emas, atau lebih tepatnya proporsi yang sedekat mungkin dengannya, dapat dilihat hampir di mana-mana, bahkan di cermin. Tidak percaya padaku? Mari kita mulai dengan ini.

Tahukah Anda, ketika saya sedang belajar menggambar, mereka menjelaskan kepada kami betapa mudahnya membentuk wajah seseorang, tubuhnya, dan sebagainya. Segala sesuatu harus dihitung relatif terhadap sesuatu yang lain.

Semuanya, semuanya mutlak proporsional: tulang, jari tangan kita, telapak tangan, jarak wajah, jarak tangan terentang terhadap badan, dan sebagainya. Namun itupun belum semuanya, struktur internal tubuh kita pun sama atau hampir sama dengan rumus bagian emas. Berikut jarak dan proporsinya:

dari bahu, ubun-ubun, hingga ukuran kepala = 1:1.618

dari pusar sampai ubun-ubun sampai ruas dari bahu sampai ubun-ubun = 1:1.618

dari pusar sampai lutut dan dari lutut sampai kaki = 1:1.618

dari dagu sampai ke ujung bibir atas dan dari situ ke hidung = 1:1.618

Bukankah ini luar biasa!? Harmoni dalam bentuknya yang paling murni, baik di dalam maupun di luar. Dan itulah sebabnya, pada tingkat bawah sadar tertentu, beberapa orang tidak tampak cantik bagi kita, meskipun mereka memiliki tubuh yang kuat dan kencang, kulit yang lembut, rambut yang indah, mata, dll., dan yang lainnya. Tapi, tetap saja, pelanggaran sekecil apa pun terhadap proporsi tubuh, dan penampilan sudah sedikit “menyakitkan mata”.

Singkatnya, semakin cantik seseorang menurut kita, semakin dekat proporsinya dengan ideal. Dan ini, omong-omong, tidak hanya dapat dikaitkan dengan tubuh manusia.

Rasio emas di alam dan fenomenanya

Contoh klasik rasio emas di alam adalah cangkang moluska Nautilus pompilius dan amon. Namun bukan itu saja, masih banyak contoh lainnya:

di ikal telinga manusia kita bisa melihat spiral emas;

itu sama (atau dekat dengannya) dalam spiral di mana galaksi-galaksi berputar;

dan dalam molekul DNA;

Menurut deret Fibonacci, bagian tengah bunga matahari tersusun, tumbuh kerucut, bagian tengah bunga, nanas dan masih banyak buah lainnya.

Sobat banyak sekali contohnya, videonya akan saya tinggalkan disini saja (tepat di bawah) agar tidak membebani artikel dengan teks. Karena jika Anda menggali topik ini, Anda bisa masuk lebih jauh ke dalam hutan berikut: bahkan orang Yunani kuno membuktikan bahwa Alam Semesta dan, secara umum, seluruh ruang direncanakan berdasarkan prinsip rasio emas.

Anda akan terkejut, namun aturan ini dapat ditemukan bahkan dalam suara. Melihat:

Titik tertinggi suara yang menimbulkan rasa sakit dan tidak nyaman pada telinga kita adalah 130 desibel.

Kami membagi proporsi 130 dengan angka rasio emas φ = 1,62 dan kami mendapatkan 80 desibel - suara jeritan manusia.

Kita terus membaginya secara proporsional dan mendapatkan, katakanlah, volume bicara manusia yang normal: 80 / φ = 50 desibel.

Nah, bunyi terakhir yang kita peroleh berkat rumus tersebut adalah bunyi bisikan yang merdu = 2,618.

Dengan menggunakan prinsip ini, dimungkinkan untuk menentukan jumlah suhu, tekanan, dan kelembapan yang optimal-nyaman, minimum dan maksimum. Saya belum mengujinya, dan saya tidak tahu seberapa benar teori ini, tapi Anda harus setuju, kedengarannya mengesankan.

Seseorang dapat membaca keindahan dan keselarasan tertinggi dalam segala sesuatu yang hidup dan mati.

Hal utama adalah jangan terbawa oleh hal ini, karena jika kita ingin melihat sesuatu dalam sesuatu, kita akan melihatnya, meskipun tidak ada. Misalnya saya memperhatikan desain PS4 dan melihat rasio emas di sana =) Namun, konsol ini sangat keren sehingga saya tidak akan terkejut jika desainernya benar-benar melakukan sesuatu yang pintar di sana.

Rasio emas dalam seni

Ini juga merupakan topik yang sangat besar dan luas yang patut dipertimbangkan secara terpisah. Di sini saya hanya akan mencatat beberapa poin dasar. Hal yang paling luar biasa adalah banyak karya seni dan mahakarya arsitektur jaman dahulu (dan tidak hanya) dibuat berdasarkan prinsip rasio emas.

Piramida Mesir dan Maya, Notre Dame de Paris, Parthenon Yunani dan sebagainya.

Dalam karya musik Mozart, Chopin, Schubert, Bach dan lain-lain.

Dalam lukisan (ini terlihat jelas): semua lukisan paling terkenal karya seniman terkenal dibuat dengan mempertimbangkan aturan rasio emas.

Prinsip-prinsip ini dapat ditemukan dalam puisi-puisi Pushkin dan patung Nefertiti yang cantik.

Bahkan saat ini, aturan rasio emas masih digunakan, misalnya dalam fotografi. Dan tentu saja, dalam semua seni lainnya, termasuk sinematografi dan desain.

Kucing Fibonacci Emas

Dan terakhir, tentang kucing! Pernahkah Anda bertanya-tanya mengapa semua orang sangat menyukai kucing? Mereka telah mengambil alih Internet! Kucing ada dimana-mana dan itu luar biasa =)

Dan intinya adalah kucing itu sempurna! Tidak percaya padaku? Sekarang saya akan membuktikannya kepada Anda secara matematis!

Apakah kamu lihat? Rahasianya terungkap! Kucing itu ideal dari sudut pandang matematika, alam, dan Alam Semesta =)

*Saya bercanda, tentu saja. Tidak, kucing benar-benar ideal) Tapi mungkin belum ada yang mengukurnya secara matematis.

Itu pada dasarnya, teman-teman! Sampai jumpa di artikel berikutnya. Semoga beruntung untukmu!

P.S. Gambar diambil dari medium.com.

Esai diselesaikan oleh siswa kelas 8 Gimnasium Institusi Pendidikan Kota No. 9 Veronica Vyushina

Yekaterinburg

1. Perkenalan. Proporsi rasio emas. F dan φ.

"Geometri memiliki dua harta karun yang besar. Yang pertama adalah teorema Pythagoras, yang kedua adalah pembagian segmen dalam rasio ekstrim dan rata-rata"

Johannes Kepler

Poligon beraturan menarik perhatian ilmuwan Yunani kuno jauh sebelum Archimedes. Kaum Pythagoras, yang memilih pentagram - bintang berujung lima - sebagai lambang persatuan mereka, sangat mementingkan masalah membagi lingkaran menjadi bagian-bagian yang sama, yaitu membuat poligon bertulisan beraturan. Albrecht Durer (1471-1527), yang menjadi personifikasi Renaisans di Jerman, memberikan metode yang secara teoritis akurat untuk membangun segi lima biasa, yang dipinjam dari karya besar Ptolemy “Almagest”.

Ketertarikan Dürer dalam membangun poligon beraturan mencerminkan penggunaannya pada Abad Pertengahan dalam desain Arab dan Gotik, dan setelah penemuan senjata api dalam perencanaan benteng.

Metode abad pertengahan untuk membuat poligon beraturan merupakan perkiraan, namun (atau pasti) sederhana: preferensi diberikan pada metode konstruksi yang bahkan tidak memerlukan perubahan bukaan kompas. Leonardo da Vinci juga banyak menulis tentang poligon, tetapi Dürer, bukan Leonardo, yang mewariskan metode konstruksi abad pertengahan kepada keturunannya. Dürer, tentu saja, akrab dengan "Elemen" Euclid, tetapi tidak menyajikan dalam "Manual Pengukuran" (tentang konstruksi menggunakan kompas dan penggaris) metode yang diusulkan oleh Euclid untuk membangun segi lima beraturan, yang secara teoritis akurat, seperti semua Konstruksi Euclidean. Euclid tidak berusaha membagi busur lingkaran tertentu menjadi tiga bagian yang sama besar, dan Dürer mengetahui, meskipun buktinya baru ditemukan pada abad ke-19, bahwa masalah ini tidak dapat diselesaikan.

Konstruksi segi lima beraturan yang dikemukakan oleh Euclid meliputi pembagian ruas garis lurus dalam perbandingan rata-rata dan ekstrim, yang kemudian disebut bagian emas dan menarik perhatian seniman dan arsitek selama beberapa abad.

Titik B membagi ruas ABE pada perbandingan rata-rata dan perbandingan ekstrim atau membentuk rasio emas jika perbandingan bagian segmen yang lebih besar dengan yang lebih kecil sama dengan perbandingan seluruh segmen dengan bagian yang lebih besar.

Rasio emas yang ditulis dalam bentuk persamaan rasio mempunyai bentuk

AB/BE= AB/AE

Jika kita masukkan AB=a, dan BE=a/F sehingga rasio emasnya sama dengan AB/BE=F, maka kita peroleh rasionya

Artinya, Ф memenuhi persamaan tersebut

Persamaan ini mempunyai satu akar positif

=(√5+1)/2=1,618034….

Perhatikan bahwa 1/Ф = (√5 -1)/2, karena (√5-1)(√5+1) =5-1=4. 1/F dianggap φ=0,618034….

Ф dan φ adalah bentuk huruf besar dan kecil dari huruf Yunani "phi".

Sebutan ini diadopsi untuk menghormati pematung Yunani kuno Phidias (abad ke-5 SM). Phidias mengawasi pembangunan Kuil Parthenon di Athena. Angka φ berulang kali hadir dalam proporsi candi ini.

2.Sejarah rasio emas

Secara umum diterima bahwa konsep pembagian emas diperkenalkan ke dalam penggunaan ilmiah oleh Pythagoras, seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno (abad VI SM). Ada asumsi bahwa Pythagoras meminjam pengetahuannya tentang pembagian emas dari orang Mesir dan Babilonia. Memang, proporsi piramida Cheops, kuil, relief, barang-barang rumah tangga, dan perhiasan dari makam Tutankhamun menunjukkan bahwa pengrajin Mesir menggunakan rasio pembagian emas saat membuatnya. Arsitek Perancis Le Corbusier menemukan bahwa pada relief kuil Firaun Seti I di Abydos dan pada relief yang menggambarkan Firaun Ramses, proporsi gambarnya sesuai dengan nilai pembagian emas. Arsitek Khesira, yang digambarkan pada relief papan kayu dari sebuah makam yang dinamai menurut namanya, memegang alat ukur di tangannya yang mencatat proporsi pembagian emas.

Orang-orang Yunani adalah ahli geometri yang terampil. Mereka bahkan mengajarkan aritmatika kepada anak-anaknya dengan menggunakan bangun-bangun geometris. Persegi Pythagoras dan diagonal persegi ini menjadi dasar pembuatan persegi panjang dinamis.

Plato (427...347 SM) juga mengetahui tentang pembagian emas. Dialognya "Timaeus" dikhususkan untuk pandangan matematika dan estetika sekolah Pythagoras dan, khususnya, masalah pembagian emas.

Parthenon memiliki 8 kolom di sisi pendek dan 17 kolom di sisi panjang. Perbandingan tinggi bangunan dengan panjangnya adalah 0,618. Jika kita membagi Parthenon menurut "bagian emas", kita akan mendapatkan tonjolan tertentu pada fasad. Selama penggaliannya, ditemukan kompas yang digunakan oleh arsitek dan pematung dunia kuno. Kompas Pompeian (museum di Napoli) juga memuat proporsi pembagian emas.

Dalam literatur kuno yang sampai kepada kita, pembagian emas pertama kali disebutkan dalam Elemen Euclid. Dalam buku ke-2 Elemen, diberikan konstruksi geometris pembagian emas. Setelah Euclid, Hypsicles (abad ke-2 SM), Pappus (abad ke-3 M) dan lain-lain mempelajari pembagian emas.Di Eropa abad pertengahan, mereka mengenal pembagian emas dari terjemahan bahasa Arab dari Elemen Euclid. Penerjemah J. Campano dari Navarre (abad III) memberikan komentar atas terjemahan tersebut. Rahasia divisi emas dijaga ketat dan dijaga kerahasiaannya. Mereka hanya diketahui oleh para inisiat.

Selama Renaisans, minat terhadap pembagian emas meningkat di kalangan ilmuwan dan seniman karena penggunaannya dalam geometri dan seni, khususnya dalam arsitektur. Leonardo da Vinci, seorang seniman dan ilmuwan, melihat seniman Italia memiliki banyak pengalaman empiris namun minim pengetahuan. Ia menyusun dan mulai menulis buku tentang geometri, tetapi pada saat itu sebuah buku karya biksu Luca Pacioli muncul, dan Leonardo meninggalkan idenya. Menurut orang-orang sezaman dan sejarawan sains, Luca Pacioli adalah seorang termasyhur sejati, ahli matematika terhebat di Italia pada periode antara Fibonacci dan Galileo.

Luca Pacioli sangat memahami pentingnya sains bagi seni. Pada tahun 1496, atas undangan Duke of Moreau, dia datang ke Milan, di mana dia memberi kuliah tentang matematika. Leonardo da Vinci juga bekerja di Milan di istana Moro saat itu. Pada tahun 1509, buku Luca Pacioli "The Divine Proportion" diterbitkan di Venesia dengan ilustrasi yang dibuat dengan cemerlang, itulah sebabnya diyakini bahwa itu dibuat oleh Leonardo da Vinci. Buku itu merupakan himne antusias untuk rasio emas. Di antara banyak keuntungan dari proporsi emas, biksu Luca Pacioli tidak lupa menyebut “esensi ilahi” sebagai ekspresi dari trinitas ilahi: Tuhan putra, Tuhan bapa, dan Tuhan roh suci (tersirat bahwa proporsi emas kecil segmen adalah personifikasi Tuhan anak, segmen yang lebih besar adalah dewa ayah, dan segmen keseluruhan adalah Tuhan Roh Kudus).

Leonardo da Vinci juga menaruh banyak perhatian pada kajian divisi emas. Dia membuat bagian-bagian benda stereometrik yang dibentuk oleh segi lima beraturan, dan setiap kali dia memperoleh persegi panjang dengan rasio aspek dalam pembagian emas. Oleh karena itu, dia memberi nama divisi ini rasio emas. Jadi masih tetap menjadi yang paling populer.

Pada saat yang sama, di Eropa utara, di Jerman, Albrecht Dürer sedang menangani masalah yang sama. Dia membuat sketsa pengantar versi pertama risalah tentang proporsi. Dürer menulis: "Adalah perlu bahwa seseorang yang tahu bagaimana melakukan sesuatu harus mengajarkannya kepada orang lain yang membutuhkannya. Inilah yang ingin saya lakukan."

Dilihat dari salah satu surat Dürer, dia bertemu dengan Luca Pacioli saat berada di Italia. Albrecht Durer mengembangkan secara rinci teori proporsi tubuh manusia. Dürer memberikan tempat penting dalam sistem hubungannya dengan bagian emas. Tinggi badan seseorang dibagi dalam proporsi emas dengan garis ikat pinggang, serta dengan garis yang ditarik melalui ujung jari tengah tangan yang diturunkan, bagian bawah wajah melalui mulut, dll. Kompas proporsional Dürer sudah terkenal.

Geometri memiliki dua harta: salah satunya adalah teorema Pythagoras, dan yang lainnya adalah pembagian segmen dalam rasio rata-rata dan ekstrim. Yang pertama dapat dibandingkan dengan ukuran emas; yang kedua lebih mirip batu berharga.

I.Kepler

Tahukah Anda bahwa ketika pergi ke sekolah atau bekerja, mendengarkan musik, mengerjakan pekerjaan rumah, bersantai berlibur di laut, atau menandatangani kontrak bisnis, kita selalu menjumpai contoh rasio emas. Tumbuhan, hewan, piring, dan bahkan beberapa huruf dibuat berdasarkan prinsip rasio emas. Rasio emas bahkan telah ditemukan pada molekul DNA.

Saya ingin memperkenalkan Anda lebih dekat pada fenomena yang luar biasa ini, menurut pendapat saya, dan memberi tahu Anda secara spesifik di mana dan bagaimana kita menghadapinya dan bagaimana kita menggunakannya.

Secara umum diterima bahwa konsep pembagian emas diperkenalkan ke dalam penggunaan ilmiah oleh Pythagoras, seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno (abad VI SM). Ada asumsi bahwa Pythagoras meminjam pengetahuannya tentang pembagian emas dari orang Mesir dan Babilonia. Memang, proporsi piramida Cheops, kuil, relief, barang-barang rumah tangga, dan perhiasan dari makam Tutankhamun menunjukkan bahwa pengrajin Mesir menggunakan rasio pembagian emas saat membuatnya. Arsitek Perancis Le Corbusier menemukan bahwa pada relief kuil Firaun Seti I di Abydos dan pada relief yang menggambarkan Firaun Ramses, proporsi gambarnya sesuai dengan nilai pembagian emas. Arsitek Khesira, yang digambarkan pada relief papan kayu dari sebuah makam yang dinamai menurut namanya, memegang alat ukur di tangannya yang mencatat proporsi pembagian emas. Orang-orang Yunani adalah ahli geometri yang terampil. Mereka bahkan mengajarkan aritmatika kepada anak-anaknya dengan menggunakan bangun-bangun geometris. Persegi Pythagoras dan diagonal persegi ini menjadi dasar pembuatan persegi panjang dinamis.

Apa itu rasio emas, penerapan rasio emas dalam matematika.

Rasio emas adalah pembagian suatu segmen secara proporsional menjadi bagian-bagian yang tidak sama, di mana seluruh segmen berhubungan dengan bagian yang lebih besar sebagaimana bagian yang lebih besar berhubungan dengan bagian yang lebih kecil; atau dengan kata lain ruas yang lebih kecil ke ruas yang lebih besar sama dengan ruas yang lebih besar ke keseluruhan a: b = b: c atau c: b = b: a.

Proporsi ini dapat dibangun sebagai berikut:

Dari titik B kita kembalikan garis tegak lurus yang sama dengan setengah AB. Titik C yang dihasilkan dihubungkan oleh sebuah garis ke titik A. Pada garis yang dihasilkan kita letakkan ruas BC yang berakhiran titik D. Ruas AD dipindahkan ke garis AB. Titik E yang dihasilkan membagi segmen AB dengan proporsi emas.

Sifat-sifat rasio emas dijelaskan dengan persamaan: x*x – x – 1 = 0.

Solusi persamaan ini:

Di alam, rasio emas kedua juga ditemukan, yang mengikuti bagian utama dan memberikan rasio lain sebesar 44:56. Proporsi ini ditemukan dalam arsitektur, dan juga terjadi ketika membuat komposisi gambar dengan format horizontal memanjang.

Kami membagi segmen AB ini dengan proporsi bagian emas. Dari titik C kita kembalikan tegak lurus CD. Dengan menggunakan jari-jari AB kita mencari titik D, kemudian menghubungkannya dengan garis ke titik A. Bagilah sudut siku-siku ACD menjadi dua. Dari titik C kita tarik garis sampai perpotongan dengan AD. Sebut saja titik yang dihasilkan dengan huruf E, yang membagi ruas AD dengan perbandingan 44:56.

Gambar tersebut menunjukkan posisi garis rasio emas kedua. Letaknya di tengah-tengah antara garis rasio emas dan garis tengah persegi panjang.

Jika persegi AEFD dipisahkan dari persegi panjang emas ABCD, maka sisa EBCF akan menjadi persegi panjang emas baru, yang dapat dibagi lagi menjadi persegi GHCF dan persegi panjang emas yang lebih kecil EBHG. Dengan mengulangi prosedur ini berkali-kali, kita akan memperoleh barisan persegi dan persegi panjang emas yang tak terhingga, yang pada akhirnya menyatu ke titik O. Perhatikan bahwa pengulangan tak berujung dari bangun geometri yang sama, yaitu persegi dan persegi panjang emas, menghasilkan kita rasa estetika ritme dan harmoni yang tidak disadari. Keadaan inilah yang diyakini menjadi alasan mengapa banyak benda berbentuk persegi panjang yang dipegang seseorang (kotak korek api, korek api, buku, koper) seringkali berbentuk persegi panjang emas. Misalnya, kita banyak menggunakan kartu kredit dalam kehidupan sehari-hari, namun kita tidak memperhatikan fakta bahwa dalam banyak kasus, kartu kredit berbentuk seperti persegi panjang emas.

Persegi panjang emas dan kartu kredit

Pentagram dan Pentagon

Jika kita menggambar semua diagonal dalam pentagram, hasilnya adalah bintang pentagonal yang terkenal. Telah terbukti bahwa titik potong diagonal-diagonal dalam suatu pentagram selalu merupakan titik-titik rasio emas diagonal-diagonalnya. Dalam hal ini, titik-titik tersebut membentuk pentagram FGHKL baru. Dalam pentagram baru, diagonal dapat digambar, perpotongannya membentuk pentagram lain, dan proses ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Jadi, pentagram ABCDE tampaknya terdiri dari pentagram yang jumlahnya tak terhingga, yang setiap kali dibentuk oleh titik potong diagonal-diagonalnya. Pengulangan figur geometris yang sama tanpa henti ini menciptakan rasa ritme dan harmoni yang secara tidak sadar terekam dalam pikiran kita. Pentagram sangat dikagumi oleh kaum Pythagoras dan dianggap sebagai tanda identifikasi utama mereka. Gedung departemen militer AS berbentuk pentagram dan disebut “Pentagon” yang artinya segi lima biasa.

Jadi, saya sudah memberi tahu Anda apa itu rasio emas, dan sekarang, karena laporan saya dikhususkan untuk penerapan rasio emas, sekarang saya akan membicarakannya.

Masalah kelinci. Angka Fibonacci.

MASALAH KELINCI

Seseorang meletakkan sepasang kelinci di suatu tempat tertentu, dipagari tembok di semua sisinya, untuk mengetahui berapa pasang kelinci yang akan lahir sepanjang tahun, jika sifat kelinci sedemikian rupa sehingga setelah sebulan sepasang kelinci akan melahirkan. melahirkan pasangan lain, dan kelinci melahirkan mulai bulan kedua setelah kelahirannya.

Jelas jika kita menganggap pasangan kelinci pertama sebagai bayi yang baru lahir, maka di bulan kedua kita masih akan memiliki satu pasangan; untuk bulan ke-3 - 1+1=2; pada bulan ke 4 - 2 + 1 = 3 pasang (karena dari dua pasang yang ada, hanya satu pasang yang menghasilkan keturunan); pada bulan ke 5 - 3+2=5 pasang (hanya 2 pasang yang lahir pada bulan ke 3 yang akan melahirkan keturunan pada bulan ke 5); pada bulan ke 6 - 5 + 3 = 8 pasang (karena hanya pasangan yang lahir pada bulan ke 4 yang akan menghasilkan keturunan), dst.

Dari permasalahan tersebut muncullah penemuan barisan bilangan asli tertentu yang masing-masing anggotanya dimulai dari bilangan ketiga sama dengan jumlah dua anggota sebelumnya: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. ,Deret ini disebut Deret Fibonacci, dan anggotanya disebut bilangan Fibonacci. Rasio anggota deret berikutnya dengan anggota sebelumnya cenderung pada rasio emas

Dalam aljabar, biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani phi.

Rasio emas juga tidak melewati manusia.

Rasio emas adalah dasar untuk membangun bentuk-bentuk yang harmonis, karena ini adalah hukum absolut pembentukan bentuk di alam, di mana kita menjadi bagiannya. Hukum harmoni adalah hukum numerik.

Saat memodelkan orang biasa, kemungkinan besar kita tidak menggunakan penggaris dan kalkulator untuk menghitung proporsi emas. Kita hanya merasakan bentuk-bentuk ini secara intuitif, karena bentuk-bentuk manusia lebih sering menarik perhatian kita daripada apa pun, tetapi ketika membuat model makhluk, tumbuhan, struktur yang tidak biasa, kita harus menggunakan pengetahuan geometri dan rasio emas sehingga hasil pekerjaannya bisa dilihat tanpa rasa jijik, meski jika yang dicari adalah rasa jijik, maka Anda tahu apa yang harus Anda lakukan.

Bagaimanapun, pengetahuan tentang hukum alam (hukum numerik) membantu kita mencapai hasil yang diinginkan secepat mungkin.

Profesor Jerman Zeising melakukan pekerjaan yang hebat pada pertengahan abad ke-18: dia mengukur lebih dari 2000 tubuh dan menyarankan bahwa rasio emas menyatakan hukum statistik rata-rata: membagi tubuh dengan titik pusar adalah salah satu indikator utama rasio emas . Proporsi tubuh laki-laki berfluktuasi dengan perbandingan rata-rata 13:8 = 1,625 dan agak mendekati rasio emas dibandingkan dengan proporsi tubuh perempuan, yang nilai rata-rata proporsinya dinyatakan dalam perbandingan 8: 5 = 1,6. Pada bayi baru lahir proporsinya adalah 1:1, pada usia 13 tahun menjadi 1,6, dan pada usia 21 tahun setara dengan laki-laki. Proporsi bagian emas juga muncul dalam kaitannya dengan bagian tubuh lainnya - panjang bahu, lengan dan tangan, tangan dan jari, dll.

pada anak kecil (sekitar satu tahun) proporsinya adalah 1:1.

Baru-baru ini, ahli bedah Amerika kontemporer kita Stephen Marquart, menciptakan, dengan menggunakan prinsip “rasio emas”, sebuah topeng geometris yang dapat menjadi standar untuk wajah cantik. Untuk mengetahui apakah suatu wajah cocok dengan idealnya, cukup salin topengnya ke film transparan dan overlay pada foto dengan ukuran yang sesuai.

Jadi, dengan membagi ruas antara ubun-ubun dan jakun sehubungan dengan “bagian emas”, kita mendapatkan sebuah titik yang terletak di garis alis (B). Dengan pembagian emas lebih lanjut dari bagian yang dihasilkan, kita mendapatkan ujung hidung (C), ujung dagu (D) secara berurutan.

Rasio emas di telinga manusia.

Di telinga bagian dalam manusia terdapat organ yang disebut Koklea (“Siput”), yang berfungsi mentransmisikan getaran suara. Struktur tulang ini berisi cairan dan juga berbentuk seperti siput, mengandung bentuk spiral logaritmik stabil = 73º 43'.

Karena rasio emas telah menyentuh seseorang, menurut saya rasio emas itu ada bahkan dalam struktur molekul DNA.

Segala informasi tentang ciri-ciri fisiologis makhluk hidup disimpan dalam molekul DNA mikroskopis, yang strukturnya juga mengandung hukum proporsi emas. Molekul DNA terdiri dari dua heliks yang terjalin secara vertikal. Panjang masing-masing spiral tersebut adalah 34 angstrom dan lebarnya 21 angstrom. (1 angstrom sama dengan seperseratus juta sentimeter). Jadi, 21 dan 34 adalah bilangan-bilangan yang saling berurutan dalam barisan bilangan Fibonacci, yaitu perbandingan panjang dan lebar spiral logaritmik molekul DNA mempunyai rumus rasio emas 1:1.618.

Masing-masing dari kita, setidaknya sekali dalam hidup kita, pernah ke laut dan memegang cangkang berbentuk spiral di tangan kita. Nah, ini dia: cangkang seperti itu dipelintir menjadi spiral. Jika Anda membuka lipatannya, Anda akan mendapatkan panjangnya sedikit lebih pendek dari panjang ular. Cangkang kecil berukuran sepuluh sentimeter memiliki spiral sepanjang 35 cm, Spiral sangat umum di alam. Gagasan tentang rasio emas tidak akan lengkap tanpa membicarakan spiral.

spiral Archimedes

Bentuk cangkangnya yang melengkung secara spiral menarik perhatian Archimedes. Dia mempelajarinya dan menghasilkan persamaan spiral. Spiral yang digambar menurut persamaan ini disebut dengan namanya. Peningkatan langkahnya selalu seragam. Saat ini spiral Archimedes banyak digunakan dalam bidang teknologi.

Rasio emas dalam seni lukis dan fotografi.

Dalam fotografi

Saat kita ingin mengambil foto yang indah, sering kali kita menyadari bahwa kita tidak tahu bagaimana menata objek secara mental agar nantinya terlihat sebaik mungkin pada foto yang sudah jadi. Aturan rasio emas dapat membantu kita dalam hal ini. Dengan menggunakan garis horizontal dan vertikal, secara mental kita membagi jendela bidik menjadi sembilan sektor yang identik. Empat titik pusat perpotongan garis horizontal dan vertikal akan menjadi kunci bagi kami.

Penggunaan praktis aturan Rasio Emas saat membuat bingkai.

Di bawah ini adalah berbagai opsi untuk kisi-kisi yang dibuat berdasarkan aturan "bagian Zloty", untuk berbagai opsi komposisi. Untuk memahami prinsip-prinsipnya, Anda perlu bereksperimen sendiri, mencoba dan menggabungkan grid dengan foto Anda. Jerat dasar terlihat seperti ini:

Ini adalah foto seekor kucing yang letaknya sembarang dalam bingkai.

Sekarang mari kita membagi bingkai secara kondisional menjadi beberapa segmen, dengan perbandingan 1,62 panjang total dari setiap sisi bingkai. Di persimpangan segmen akan ada "pusat visual" utama di mana elemen kunci yang diperlukan dari gambar harus ditempatkan.

Mari kita pindahkan kucing kita ke titik "pusat visual".

Seperti inilah komposisinya sekarang. Bukankah itu jauh lebih baik?

Untuk memahami inti dari rasio emas, cobalah mengambil sendiri beberapa foto seseorang yang sedang duduk di bangku taman. Pastikan foto yang paling serasi adalah foto yang orangnya duduk bukan di tengah atau di pinggir, melainkan pada titik yang sesuai dengan rasio emas (membagi bangku dengan perbandingan kira-kira 2:3).

Dalam lukisan

Para empu Yunani Kuno, yang mengetahui bagaimana secara sadar menggunakan proporsi emas, yang pada hakikatnya sangat sederhana, dengan terampil menerapkan nilai-nilai harmoniknya dalam semua jenis seni dan mencapai kesempurnaan dalam struktur bentuk yang mengekspresikan cita-cita sosialnya. , yang jarang ditemukan dalam praktik seni rupa dunia. Seluruh kebudayaan kuno berada di bawah tanda proporsi emas. Mereka mengetahui proporsi ini di Mesir Kuno. Saya akan menunjukkannya dengan menggunakan contoh pelukis seperti: Raphael, Leonardo da Vinci, Botticelli, Shishkin.

Dalam sketsa persiapan Raphael, garis merah digambar dari pusat semantik komposisi - titik di mana jari-jari prajurit melingkari pergelangan kaki anak itu - di sepanjang sosok anak itu, wanita yang memeluknya erat, prajurit dengan pedangnya terangkat, dan kemudian sepanjang gambar dari kelompok yang sama di sketsa sisi kanan. Jika Anda menghubungkan potongan-potongan ini secara alami dengan garis putus-putus melengkung, Anda akan mendapatkan hasil yang sangat akurat. spiral emas! Hal ini dapat diperiksa dengan mengukur perbandingan panjang ruas yang dipotong spiral terhadap garis lurus yang melalui titik awal kurva. "Pembantaian Orang Tak Bersalah" Raphael

Dalam lukisan dinding terkenal "Sekolah Athena", di mana di kuil sains terdapat perkumpulan para filsuf besar zaman kuno, perhatian kita tertuju pada kelompok Euclid, ahli matematika Yunani kuno terbesar, yang menganalisis gambar yang rumit. Kombinasi cerdik dari dua segitiga juga dibuat sesuai dengan proporsi rasio emas: dapat dituliskan dalam persegi panjang dengan rasio aspek 5/8. Gambar ini ternyata sangat mudah untuk dimasukkan ke bagian atas arsitektur. Sudut atas segitiga bertumpu pada landasan lengkungan di area yang paling dekat dengan pengamat, sudut bawah menyentuh titik hilang perspektif, dan bagian samping menunjukkan proporsi celah spasial antara dua bagian lengkungan. .

LEONARDO da VINCI

Potret Mona Lisa (La Gioconda) karya Leonardo da Vinci menarik karena komposisi gambarnya dibangun di atas “segitiga emas”, lebih tepatnya segitiga yang merupakan potongan-potongan segi lima beraturan.

“The Last Supper” adalah karya Leonardo yang paling matang dan lengkap. Dalam lukisan ini, sang master menghindari segala sesuatu yang dapat mengaburkan alur utama dari tindakan yang ia gambarkan, ia mencapai solusi komposisi yang sangat meyakinkan. Di tengah ia menempatkan sosok Kristus, menyorotnya dengan bukaan pintu. Ia sengaja menjauhkan para rasul dari Kristus untuk lebih menekankan tempatnya dalam komposisi. Akhirnya, untuk tujuan yang sama, ia memaksa semua garis perspektif bertemu pada satu titik tepat di atas kepala Kristus. Leonardo membagi murid-muridnya menjadi empat kelompok simetris, penuh kehidupan dan gerakan. Dia membuat mejanya kecil, dan ruang makannya ketat dan sederhana. Hal ini memberinya kesempatan untuk memusatkan perhatian pemirsa pada sosok dengan kekuatan plastik yang sangat besar. Semua teknik ini mencerminkan tujuan mendalam dari rencana kreatif, di mana segala sesuatunya ditimbang dan diperhitungkan. "

Botticelli - "Kelahiran Venus"

Lukisan itu tidak menggambarkan kelahiran sang dewi itu sendiri, tetapi momen berikutnya, ketika dia, didorong oleh nafas para jenius di udara, mencapai pantai, di mana dia bertemu dengan salah satu rahmat. Menurut penyair Yunani kuno Hesiod (Theogony, 188-200), Venus lahir dari laut - dari busa yang dihasilkan oleh alat kelamin Uranus (SATURN) yang dikebiri, dibuang ke air oleh Cronus. Dia mengapung ke pantai dalam cangkang terbuka, didorong oleh angin sepoi-sepoi, dan akhirnya mendarat di Paphos (Siprus) - salah satu tempat pemujaan dan pemujaan utama di zaman kuno. Nama Yunaninya Aphrodite mungkin berasal dari aphros, yang berarti "busa".

Di dekat pulau Cythera, Aphrodite, putri Uranus, lahir dari buih ombak laut seputih salju. Angin sepoi-sepoi yang lembut membawanya ke pulau Siprus. Di sana para Oras muda mengepung dewi cinta yang muncul dari ombak laut. Mereka mendandaninya dengan pakaian tenunan emas dan memahkotainya dengan karangan bunga harum. Ke mana pun Aphrodite melangkah, bunga tumbuh subur. Seluruh udara dipenuhi aroma. Eros dan Himerot memimpin dewi menakjubkan itu ke Olympus. Para dewa menyambutnya dengan keras. Sejak itu, Aphrodite emas, yang selalu muda, dewi tercantik, selalu hidup di antara para dewa Olympus.

Dalam lukisan terkenal karya I. I. Shishkin ini, motif bagian emas terlihat jelas. Pohon pinus yang terang benderang (berdiri di latar depan) membagi panjang gambar menurut rasio emas. Di sebelah kanan pohon pinus ada bukit kecil yang diterangi matahari. Ini membagi sisi kanan gambar secara horizontal sesuai dengan rasio emas. Di sebelah kiri pohon pinus utama terdapat banyak pohon pinus - jika diinginkan, Anda dapat terus membagi gambar sesuai dengan rasio emas lebih lanjut.

Kehadiran gambar vertikal dan horizontal yang cerah, membaginya dalam kaitannya dengan rasio emas, memberikan karakter keseimbangan dan ketenangan, sesuai dengan niat seniman. Ketika niat sang seniman berbeda, misalnya jika ia menciptakan gambar dengan aksi yang berkembang pesat, skema komposisi geometris seperti itu (dengan dominasi vertikal dan horizontal) menjadi tidak dapat diterima.

Rasio emas dalam arsitektur

Arsitektur adalah kemampuan kesadaran kita untuk mengkonsolidasikan perasaan suatu zaman dalam bentuk material. Le Corbusier

Salah satu karya arsitektur Yunani kuno yang paling indah adalah Parthenon (abad ke-5 SM).

Gambar tersebut menunjukkan sejumlah pola yang terkait dengan rasio emas.

Di denah Parthenon Anda juga dapat melihat "persegi panjang emas":

Pada proporsi bangunan Katedral Notre Dame di Paris kita juga melihat proporsi emas.

M. Kazakov menggunakan “rasio emas” secara luas dalam karyanya.

Bakatnya beragam, tetapi sebagian besar terungkap dalam berbagai proyek bangunan tempat tinggal dan perkebunan yang telah diselesaikan. Misalnya, “rasio emas” dapat ditemukan pada arsitektur gedung Senat di Kremlin.

Banyak pematung kuno menggunakan aturan proporsi emas saat membuat karya mereka.

Pertimbangkan ini dengan menggunakan contoh patung Apollo Belvedere: garis pusar membagi tinggi orang yang digambarkan dalam kaitannya dengan rasio emas.

Dan beberapa contoh lagi untuk membuktikan bahwa kita mengamati rasio emas dalam seni pahat.

Doryphorus dari Polykleitos dan analisis harmoniknya

Venus de Milo dan analisis harmoniknya

David karya Michelangelo

6. Rasio emas di alam yang hidup

Segala sesuatu di dunia terhubung ke satu permulaan:

Dalam pergerakan ombak - soneta Shakespeare,

Dalam simetri bunga terdapat fondasi alam semesta,

Dan dalam kicauan burung ada simfoni planet-planet.

Alam yang hidup dalam perkembangannya mengupayakan organisasi yang paling harmonis, yang kriterianya adalah proporsi emas, yang memanifestasikan dirinya pada berbagai tingkatan - dari kombinasi atom hingga struktur tubuh hewan tingkat tinggi.

Bunga dan biji bunga matahari, aster, sisik buah nanas, kerucut tumbuhan runjung “dikemas” dalam spiral logaritmik, melengkung satu sama lain. Terlebih lagi, bilangan spiral “kanan” dan “kiri” selalu berhubungan satu sama lain, seperti bilangan Fibonacci yang bertetangga.

Dalam rumus susunan daun (phyllotaxis) banyak tumbuhan terdapat bilangan Fibonacci yang disusun secara teratur - melalui satu, misalnya hazel -1/3, oak, cherry - 2/5, sea buckthorn -5/13

Pertimbangkan tunas sawi putih. Sebuah tunas telah terbentuk dari batang utama. Daun pertama terletak di sana. Tunas tersebut melontarkan dengan kuat ke luar angkasa, berhenti, melepaskan sehelai daun, namun kali ini lebih pendek dari yang pertama, kembali melontarkan ke luar angkasa, namun dengan gaya yang lebih kecil, melepaskan sehelai daun yang ukurannya lebih kecil lagi dan terlontar lagi. .

Jika emisi pertama diambil 100 unit, maka emisi kedua sama dengan 62 unit, emisi ketiga – 38, keempat – 24, dst. Panjang kelopak juga tunduk pada proporsi emas. Dalam pertumbuhan dan penaklukan ruang, tanaman mempertahankan proporsi tertentu. Dorongan pertumbuhannya secara bertahap menurun sebanding dengan rasio emas.

Menurut saya, banyak kupu-kupu dan serangga lain yang tidak menghindari benturan dengan fenomena rasio emas yang luar biasa ini. Rasio ukuran bagian dada dan perut tubuh sesuai dengan proporsi emas. Melipat sayapnya, ngengat membentuk segitiga sama sisi beraturan. Tapi begitu dia melebarkan sayapnya, Anda akan melihat prinsip yang sama dalam membagi tubuh dengan 2,3,5,8. Capung juga diciptakan menurut hukum proporsi emas: perbandingan panjang ekor dan badan sama dengan perbandingan panjang total dengan panjang ekor.

Kepingan salju adalah kristal air yang terlihat dengan mata telanjang. Mereka sangat indah dan berbeda bentuknya, tetapi semua komponennya adalah bentuk geometris, dan tanpa kecuali, mereka dibuat berdasarkan prinsip proporsi emas.

Rasio emas bahkan mempengaruhi puisi dan musik.

Dalam puisi

Dalam struktur setiap puisi kita pasti memperhatikan pola-pola tertentu, dan akibatnya, ada proporsi emas dan bilangan Fibonacci. Setiap puisi kedua karya A.S. Pushkin memuat contoh (pola) rasio emas. Dan contoh (pola) simetri cermin ada di setiap sepertiganya. Salah satu dari dua pola tersebut ditemukan pada dua dari tiga puisi (524 atau 66%), dan kedua pola tersebut ditemukan pada setiap puisi kelima (150 atau 19%).

Fungsi utama bagian emas dalam karya Pushkin adalah:

}