Auksinis santykis. Kas yra aukso pjūvis? Koks yra aukso pjūvio principas

Ši harmonija stebina savo mastu...

Sveiki, draugai!

Ar girdėjote ką nors apie dieviškąją harmoniją ar auksinį santykį? Ar kada susimąstėte, kodėl mums kažkas atrodo idealu ir gražu, bet kažkas mus atstumia?

Jei ne, vadinasi, sėkmingai atėjote į šį straipsnį, nes jame aptarsime auksinį pjūvį, išsiaiškinsime, kas tai yra, kaip jis atrodo gamtoje ir pas žmogų. Pakalbėkime apie jos principus, išsiaiškinkime, kas yra „Fibonacci“ serija ir dar daugiau, įskaitant auksinio stačiakampio ir auksinės spiralės koncepciją.

Taip, straipsnyje daug vaizdų, formulių, juk aukso pjūvis – irgi matematika. Bet viskas aprašyta gana paprasta kalba, aiškiai. O straipsnio pabaigoje sužinosite, kodėl visi taip myli kates =)

Kas yra aukso pjūvis?

Paprasčiau tariant, aukso pjūvis yra tam tikra proporcijos taisyklė, kurianti harmoniją?. Tai yra, jei nepažeidžiame šių proporcijų taisyklių, gauname labai harmoningą kompoziciją.

Išsamiausias aukso pjūvio apibrėžimas teigia, kad mažesnė dalis yra susijusi su didesne, nes didesnė dalis yra su visuma.

Bet be to, auksinis pjūvis yra matematika: jis turi konkrečią formulę ir konkretų skaičių. Daugelis matematikų apskritai tai laiko dieviškosios harmonijos formule ir vadina „asimetrine simetrija“.

Aukso pjūvis mūsų amžininkus pasiekė nuo Senovės Graikijos laikų, tačiau manoma, kad aukso pjūvį tarp egiptiečių jau spėjo ir patys graikai. Kadangi daugelis Senovės Egipto meno kūrinių yra aiškiai pastatyti pagal šios proporcijos kanonus.

Manoma, kad Pitagoras pirmasis pristatė aukso pjūvio sąvoką. Euklido kūriniai išliko iki šių dienų (aukso pjūvį jis naudojo statydamas taisyklingus penkiakampius, todėl toks penkiakampis vadinamas „auksiniu“), o aukso pjūvio numeris pavadintas senovės graikų architekto Fidijaus vardu. Tai yra, tai yra mūsų skaičius „phi“ (žymimas graikiška raide φ), ir jis lygus 1,6180339887498948482... Natūralu, kad ši reikšmė yra suapvalinta: φ = 1,618 arba φ = 1,62, o procentais - aukso pjūvis. atrodo 62% ir 38%.

Kuo išskirtinė ši proporcija (ir patikėkite manimi, ji egzistuoja)? Pirmiausia pabandykime tai išsiaiškinti naudodami segmento pavyzdį. Taigi, paimame segmentą ir padalijame jį į nelygias dalis taip, kad jo mažesnė dalis būtų susijusi su didesne, o didesnė dalis – su visuma. Suprantu, dar nelabai aišku, kas yra kas, pabandysiu aiškiau iliustruoti segmentų pavyzdžiu:

Taigi, paimame atkarpą ir padalijame ją į dvi kitas, kad mažesnė atkarpa a būtų susijusi su didesne atkarpa b, kaip ir atkarpa b būtų susijusi su visuma, ty visa linija (a + b). Matematiškai tai atrodo taip:

Ši taisyklė galioja neribotą laiką; segmentus galite padalinti tiek, kiek norite. Ir pažiūrėkite, kaip tai paprasta. Svarbiausia vieną kartą suprasti ir viskas.

Bet dabar pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį, kuris pasitaiko labai dažnai, nes auksinis pjūvis taip pat vaizduojamas auksinio stačiakampio pavidalu (kurio kraštinių santykis yra φ = 1,62). Tai labai įdomus stačiakampis: jei nuo jo „nukirpsime“ kvadratą, vėl gausime auksinį stačiakampį. Ir taip be galo. Matyti:

Tačiau matematika nebūtų matematika, jei joje nebūtų formulių. Taigi, draugai, dabar tai šiek tiek „skaudės“. Auksinio pjūvio sprendimą paslėpiau po spoileriu, formulių yra daug, bet nenoriu palikti straipsnio be jų.

Fibonačio serija ir auksinis pjūvis

Mes ir toliau kuriame ir stebime matematikos magiją ir aukso pjūvį. Viduramžiais buvo toks bendražygis - Fibonacci (arba Fibonacci, jie visur rašo skirtingai). Jis mėgo matematiką ir uždavinius, jis taip pat turėjo įdomių problemų su triušių dauginimu =) Bet tai ne esmė. Jis atrado skaičių seką, joje esantys skaičiai vadinami „Fibonačio skaičiais“.

Pati seka atrodo taip:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... ir taip toliau iki begalybės.

Kitaip tariant, Fibonačio seka yra skaičių seka, kurioje kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai.

Ką su tuo turi aukso pjūvis? Pamatysi dabar.

Fibonačio spiralė

Norint pamatyti ir pajusti visą ryšį tarp Fibonačio skaičių serijos ir aukso pjūvio, reikia dar kartą pažvelgti į formules.

Kitaip tariant, nuo 9-ojo Fibonačio sekos termino pradedame gauti aukso pjūvio reikšmes. Ir jei mes įsivaizduosime visą šį vaizdą, pamatysime, kaip Fibonačio seka sukuria stačiakampius vis arčiau auksinio stačiakampio. Tai yra ryšys.

Dabar pakalbėkime apie Fibonačio spiralę, ji taip pat vadinama „auksine spirale“.

Auksinė spiralė yra logaritminė spiralė, kurios augimo koeficientas yra φ4, kur φ yra aukso pjūvis.

Apskritai, matematiniu požiūriu aukso pjūvis yra ideali proporcija. Tačiau tai tik jos stebuklų pradžia. Beveik visas pasaulis galioja aukso pjūvio principams, pati gamta sukūrė šią proporciją. Net ezoterikai tame įžvelgia skaitinę galią. Tačiau šiame straipsnyje apie tai tikrai nekalbėsime, todėl norėdami nieko nepraleisti, galite užsiprenumeruoti svetainės atnaujinimus.

Aukso pjūvis gamtoje, žmoguje, mene

Prieš pradėdami, norėčiau paaiškinti keletą netikslumų. Pirma, pats aukso pjūvio apibrėžimas šiame kontekste nėra visiškai teisingas. Faktas yra tas, kad pati „skyrio“ sąvoka yra geometrinis terminas, visada žymintis plokštumą, bet ne Fibonačio skaičių seką.

Ir, antra, skaičių eilutės ir santykis vienas su kitu, žinoma, buvo paverstas savotišku trafaretu, kurį galima pritaikyti viskam, kas atrodo įtartina, ir galima labai džiaugtis, kai būna sutapimų, bet vis tiek , sveiko proto nereikėtų prarasti.

Tačiau „mūsų karalystėje viskas buvo sumaišyta“ ir vienas tapo sinonimu kitam. Taigi apskritai prasmė neprarandama. Dabar eikime prie reikalo.

Nustebsite, tačiau aukso pjūvis, o tiksliau jam kuo artimesnės proporcijos, matosi beveik visur, net ir veidrodyje. Netikite manimi? Pradėkime nuo šito.

Žinote, kai mokiausi piešti, mums aiškino, kaip lengviau susikurti žmogaus veidą, jo kūną ir t.t. Viskas turi būti skaičiuojama, palyginti su kažkuo kitu.

Viskas, absoliučiai viskas proporcinga: kaulai, mūsų pirštai, delnai, atstumai ant veido, ištiestų rankų atstumas kūno atžvilgiu ir t.t. Bet ir tai dar ne viskas, mūsų kūno vidinė sandara, net ir ši, yra lygi arba beveik lygi aukso pjūvio formulei. Štai atstumai ir proporcijos:

nuo pečių iki vainiko iki galvos dydžio = 1:1,618

nuo bambos iki vainiko iki segmento nuo pečių iki vainiko = 1:1,618

nuo bambos iki kelių ir nuo kelių iki pėdų = 1:1,618

nuo smakro iki tolimiausio viršutinės lūpos taško ir nuo jos iki nosies = 1:1,618

Argi tai ne nuostabu!? Harmonija gryniausia forma tiek viduje, tiek išorėje. Ir todėl tam tikru pasąmonės lygmeniu kai kurie žmonės mums neatrodo gražūs, net jei turi tvirtą, tonusą kūną, aksominę odą, gražius plaukus, akis ir t.t., ir visa kita. Tačiau vis tiek menkiausias kūno proporcijų pažeidimas, o išvaizda jau šiek tiek „skauda akis“.

Trumpai tariant, kuo žmogus mums atrodo gražesnis, tuo jo proporcijos artimesnės idealui. Ir tai, beje, galima priskirti ne tik žmogaus organizmui.

Aukso pjūvis gamtoje ir jos reiškiniuose

Klasikinis aukso pjūvio pavyzdys gamtoje yra moliusko Nautilus pompilius kiautas ir amonitas. Bet tai dar ne viskas, yra daug daugiau pavyzdžių:

žmogaus ausies garbanose matome auksinę spiralę;

jos tas pats (arba arti jo) spiralėse, išilgai kurių sukasi galaktikos;

ir DNR molekulėje;

Pagal Fibonacci seriją, saulėgrąžos centras yra išdėstytas, auga spurgai, žiedų vidurys, ananasas ir daugelis kitų vaisių.

Draugai, yra tiek daug pavyzdžių, kad aš tiesiog paliksiu vaizdo įrašą čia (jis yra žemiau), kad neperkrautų straipsnio tekstu. Nes pasigilinus į šią temą galima pasigilinti į tokias džiungles: net senovės graikai įrodė, kad Visata ir apskritai visa erdvė suplanuota aukso pjūvio principu.

Nustebsite, tačiau šias taisykles galima rasti net garse. Matyti:

Aukščiausias garso taškas, sukeliantis skausmą ir diskomfortą mūsų ausyse, yra 130 decibelų.

Proporciją 130 padaliname iš aukso pjūvio skaičiaus φ = 1,62 ir gauname 80 decibelų – žmogaus riksmo garsą.

Mes ir toliau dalijame proporcingai ir gauname, tarkime, įprastą žmogaus kalbos garsumą: 80 / φ = 50 decibelų.

Paskutinis garsas, kurį gauname formulės dėka, yra malonus šnabždesys = 2,618.

Naudojant šį principą, galima nustatyti optimalų-patogų, minimalų ir maksimalų temperatūros, slėgio ir drėgmės skaičių. Aš jos neišbandžiau ir nežinau, kiek ši teorija yra teisinga, bet sutikite, tai skamba įspūdingai.

Aukščiausią grožį ir harmoniją galima perskaityti absoliučiai visame, kas gyva ir negyva.

Svarbiausia tuo nesijaudinti, nes jei norime ką nors įžvelgti kažkuo, tai pamatysime, net jei jo nėra. Pavyzdžiui, aš atkreipiau dėmesį į PS4 dizainą ir ten pamačiau aukso pjūvį =) Tačiau ši konsolė tokia šauni, kad nenustebčiau, jei dizaineris ten tikrai kažką gudraus padarė.

Aukso pjūvis mene

Tai taip pat labai didelė ir plati tema, kurią verta apsvarstyti atskirai. Čia tik atkreipsiu dėmesį į keletą pagrindinių dalykų. Įspūdingiausia tai, kad daugelis antikos (ir ne tik) meno kūrinių ir architektūros šedevrų buvo pagaminti pagal aukso pjūvio principus.

Egipto ir majų piramidės, Paryžiaus katedra, graikų Partenonas ir pan.

Mocarto, Šopeno, Šuberto, Bacho ir kt. muzikiniuose kūriniuose.

Tapyboje (tai aiškiai matoma): visi žinomiausi garsių menininkų paveikslai sukurti atsižvelgiant į aukso pjūvio taisykles.

Šiuos principus galima rasti Puškino eilėraščiuose ir gražiosios Nefertitės biustas.

Dar ir dabar aukso pjūvio taisyklės taikomos, pavyzdžiui, fotografijoje. Na, ir, žinoma, visuose kituose menuose, įskaitant kinematografiją ir dizainą.

Auksinės Fibonačio katės

Ir galiausiai apie kates! Ar kada susimąstėte, kodėl visi taip myli kates? Jie užvaldė internetą! Katės yra visur ir tai nuostabu =)

Ir visa esmė ta, kad katės yra tobulos! Netikite manimi? Dabar aš jums tai įrodysiu matematiškai!

Matote? Paslaptis atskleista! Katės yra idealios matematikos, gamtos ir visatos požiūriu =)

*Žinoma, juokauju. Ne, katės tikrai idealios) Bet tikriausiai niekas jų neišmatavo matematiškai.

Tai iš esmės, draugai! Pasimatysime kituose straipsniuose. Sėkmės tau!

P.S. Nuotraukos paimtos iš medium.com.

Rašinį užbaigė Savivaldybės ugdymo įstaigos 9-osios gimnazijos 8 klasės mokinė Veronika Vyušina

Jekaterinburgas

1. Įvadas. Auksinio santykio proporcija. F ir φ.

"Geometrija turi du didelius lobius. Pirmasis yra Pitagoro teorema, antrasis - atkarpos padalijimas kraštutiniais ir vidutiniais santykiais"

Johanesas Kepleris

Taisyklingi daugiakampiai patraukė senovės graikų mokslininkų dėmesį dar gerokai anksčiau nei Archimedas. Pitagoriečiai, savo sąjungos emblema pasirinkę pentagramą – penkiakampę žvaigždę, didelę reikšmę skyrė apskritimo padalijimo į lygias dalis, tai yra taisyklingo įbrėžto daugiakampio sudarymo, problemai. Albrechtas Dureris (1471-1527), tapęs Renesanso personifikacija Vokietijoje, pateikia teoriškai tikslų taisyklingo penkiakampio konstravimo metodą, pasiskolinto iš didžiojo Ptolemėjaus kūrinio „Almagestas“.

Diurerio susidomėjimas taisyklingų daugiakampių statyba atspindi jų naudojimą viduramžiais arabų ir gotikos dizainuose bei po šaunamųjų ginklų išradimo planuojant tvirtoves.

Viduramžių taisyklingų daugiakampių konstravimo metodai buvo apytiksliai, tačiau buvo (arba negalėjo būti) paprasti: pirmenybė buvo teikiama konstravimo būdams, kuriems net nereikėjo keisti kompaso angos. Leonardo da Vinci taip pat daug rašė apie daugiakampius, tačiau viduramžių statybos metodus savo palikuonims perdavė ne Leonardo, o Diureris. Žinoma, Diureris buvo susipažinęs su Euklido „Elementais“, bet savo „Matavimo vadove“ (dėl konstrukcijų naudojant kompasus ir liniuotes) nepateikė Euklido pasiūlyto taisyklingo penkiakampio konstravimo metodo, kuris buvo teoriškai tikslus, kaip ir visi kiti. Euklido konstrukcijos. Euklidas nebando padalyti nurodyto apskritimo lanko į tris lygias dalis, o Diureris žinojo, nors įrodymas buvo rastas tik XIX amžiuje, kad ši problema neišsprendžiama.

Euklido pasiūlyta taisyklingo penkiakampio konstrukcija apima tiesios linijos atkarpos padalijimą vidutiniu ir kraštutiniu santykiu, kuris vėliau buvo vadinamas auksine pjūviu ir kelis šimtmečius traukė menininkų ir architektų dėmesį.

Taškas B padalija atkarpą ABE vidutiniu ir kraštutiniu santykiu arba sudaro auksinį pjūvį, jei didesnės atkarpos dalies ir mažesnės dalies santykis yra lygus visos atkarpos ir didesnės dalies santykiui.

Auksinis pjūvis, parašytas santykio lygybės forma, turi formą

AB/BE= AB/AE

Jei įdėsime AB=a, o BE=a/F, kad aukso pjūvis būtų lygus AB/BE=F, tada gautume santykį

Tai yra, Ф tenkina lygtį

Ši lygtis turi vieną teigiamą šaknį

Ф=(√5+1)/2=1,618034….

Atminkite, kad 1/Ф = (√5 -1)/2, nes (√5-1) (√5+1) =5-1=4. 1/F laikoma φ=0,618034….

Ф ir φ yra didžiosios ir mažosios graikų raidės „phi“ formos.

Šis pavadinimas buvo priimtas senovės graikų skulptoriaus Fidijaus (V a. pr. Kr.) garbei.Fidias vadovavo Partenono šventyklos Atėnuose statybai. Skaičius φ kartojasi šios šventyklos proporcijose.

2.Aukso pjūvio istorija

Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką moksliniu vartojimu įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas (VI a. pr. Kr.). Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų, Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir papuošalų iš Tutanchamono kapo proporcijos rodo, kad Egipto meistrai juos kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzesą, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant jo vardu pavadinto kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos aukso padalijimo proporcijos.

Graikai buvo įgudę geometrai. Jie netgi mokė aritmetikos savo vaikus naudodami geometrines figūras. Pitagoro kvadratas ir šios aikštės įstrižainė buvo dinamiškų stačiakampių konstravimo pagrindas.

Platonas (427...347 m. pr. Kr.) taip pat žinojo apie auksinį padalijimą. Jo dialogas „Timejus“ skirtas matematinėms ir estetinėms pitagoriečių mokyklos pažiūroms ir ypač aukso padalijimo klausimams.

Partenonas turi 8 stulpelius trumpose ir 17 ilgose pusėse. Pastato aukščio ir ilgio santykis yra 0,618. Partenoną padalinę pagal „aukso pjūvį“, gausime tam tikrus fasado išsikišimus. Jo kasinėjimų metu buvo aptikti kompasai, kuriuos naudojo senovės pasaulio architektai ir skulptoriai. Pompėjos kompasas (muziejus Neapolyje) taip pat turi auksinio padalijimo proporcijas.

Senovės literatūroje, kuri atėjo iki mūsų, aukso padalijimas pirmą kartą paminėtas Euklido elementuose. 2-oje elementų knygoje pateikta geometrinė aukso padalijimo konstrukcija. Po Euklido, Hypsicles (II a. pr. Kr.), Papas (3 a. po Kr.) ir kiti tyrinėjo auksinį padalijimą. Viduramžių Europoje jie susipažino su auksiniu padalijimu iš arabiškų Euklido elementų vertimų. Vertėjas J. Campano iš Navaros (III a.) pateikė pastabų dėl vertimo. Auksinės divizijos paslaptys buvo pavydžiai saugomos ir laikomos griežtoje paslaptyje. Juos žinojo tik iniciatoriai.

Renesanso epochoje mokslininkų ir menininkų susidomėjimas auksine dalyba išaugo dėl jos panaudojimo geometrijoje ir mene, ypač architektūroje. Leonardo da Vinci, menininkas ir mokslininkas, pamatė, kad italų menininkai turėjo daug empirinės patirties, bet stokoja žinių. Jis pastojo ir pradėjo rašyti knygą apie geometriją, tačiau tuo metu pasirodė vienuolio Luca Pacioli knyga, o Leonardo atsisakė savo idėjos. Anot amžininkų ir mokslo istorikų, Luca Pacioli buvo tikras šviesulys, didžiausias Italijos matematikas laikotarpiu tarp Fibonačio ir Galilėjaus.

Luca Pacioli puikiai suprato mokslo svarbą menui. 1496 m. Moro kunigaikščio kvietimu atvyko į Milaną, kur skaitė matematikos paskaitas. Leonardo da Vinci tuo metu taip pat dirbo Milane, Moro teisme. 1509 metais Venecijoje buvo išleista Luca Pacioli knyga „Dieviškoji proporcija“ su puikiai atliktomis iliustracijomis, todėl manoma, kad jas sukūrė Leonardo da Vinci. Knyga buvo entuziastingas aukso pjūvio himnas. Tarp daugybės auksinės proporcijos privalumų vienuolis Luca Pacioli nepamiršo įvardinti jos „dieviškosios esmės“ kaip dieviškosios trejybės išraiškos: Dievas sūnus, Dievas tėvas ir Dievas šventoji dvasia (buvo numanoma, kad mažoji segmentas yra Dievo sūnaus personifikacija, didesnis segmentas yra tėvo dievas, o visas segmentas - Šventosios Dvasios Dievas).

Leonardo da Vinci daug dėmesio skyrė ir auksinės divizijos tyrinėjimams. Jis padarė stereometrinio kūno dalis, sudarytas iš taisyklingų penkiakampių, ir kiekvieną kartą gaudavo stačiakampius, kurių kraštinių santykis buvo auksinėje padaloje. Todėl šiam skyriui jis suteikė aukso pjūvio pavadinimą. Taigi jis vis dar išlieka populiariausias.

Tuo pačiu metu Europos šiaurėje, Vokietijoje, Albrechtas Diureris sprendė tas pačias problemas. Jis eskizuoja įvadą į pirmąjį traktato apie proporcijas variantą. Diureris rašo: „Būtina, kad tas, kuris žino, kaip ką nors padaryti, išmokytų to kitus, kuriems to reikia.

Sprendžiant iš vieno iš Diurerio laiškų, jis susitiko su Luca Pacioli būdamas Italijoje. Albrechtas Dureris išsamiai plėtoja žmogaus kūno proporcijų teoriją. Diureris savo santykių sistemoje svarbią vietą skyrė aukso pjūviui. Žmogaus ūgį auksinėmis proporcijomis dalija diržo linija, taip pat linija, nubrėžta per nuleistų rankų vidurinių pirštų galiukus, apatinę veido dalį prie burnos ir kt. Diurerio proporcingas kompasas yra gerai žinomas.

Geometrija turi du lobius: vienas iš jų yra Pitagoro teorema, o kitas – atkarpos padalijimas vidutiniu ir kraštutiniu santykiu. Pirmąjį galima palyginti su aukso matu; antrasis labiau panašus į brangųjį akmenį.

I. Kepleris

Ar žinojote, kad eidami į mokyklą ar darbą, klausydami muzikos, dirbdami namų ruošos darbus, ilsėdamiesi atostogaudami jūroje ar pasirašydami verslo sutartis nuolat susiduriame su aukso pjūvio pavyzdžiais. Pagal aukso pjūvio principą statomi augalai, gyvūnai, patiekalai ir net kai kurios raidės. Auksinis pjūvis buvo rastas net DNR molekulėje.

Norėčiau supažindinti jus su šiuo neįtikėtinu, mano nuomone, reiškiniu iš arčiau ir konkrečiai papasakoti, kur ir kaip su juo susiduriame ir kaip jį naudojame.

Visuotinai pripažįstama, kad auksinio padalijimo sąvoką moksliniu vartojimu įvedė Pitagoras, senovės graikų filosofas ir matematikas (VI a. pr. Kr.). Yra prielaida, kad Pitagoras savo žinias apie auksinį padalijimą pasiskolino iš egiptiečių ir babiloniečių. Iš tiesų, Cheopso piramidės, šventyklų, bareljefų, namų apyvokos daiktų ir papuošalų iš Tutanchamono kapo proporcijos rodo, kad Egipto meistrai juos kurdami naudojo auksinio padalijimo santykius. Prancūzų architektas Le Corbusier nustatė, kad reljefe iš faraono Seti I šventyklos Abydos mieste ir reljefe, vaizduojančiame faraoną Ramzią, figūrų proporcijos atitinka aukso padalijimo vertes. Architektas Khesira, pavaizduotas ant jo vardu pavadinto kapo medinės lentos reljefo, rankose laiko matavimo prietaisus, kuriuose užfiksuotos aukso padalijimo proporcijos. Graikai buvo įgudę geometrai. Jie netgi mokė aritmetikos savo vaikus naudodami geometrines figūras. Pitagoro kvadratas ir šios aikštės įstrižainė buvo dinamiškų stačiakampių konstravimo pagrindas.

Kas yra aukso pjūvis, aukso pjūvio taikymas matematikoje.

Auksinis pjūvis yra toks proporcingas atkarpos padalijimas į nelygias dalis, kai visas segmentas yra susijęs su didesne dalimi, kaip pati didesnė dalis yra susijusi su mažesne; arba kitaip tariant, mažesnis segmentas yra didesnis, kaip didesnis yra visuma a: b = b: c arba c: b = b: a.

Šią proporciją galima sudaryti taip:

Iš taško B atkuriame statmeną, lygų pusei AB. Gautas taškas C yra sujungtas tiese su tašku A. Gautoje tiesėje atskiriame atkarpą BC, kuri baigiasi tašku D. Atkarpa AD perkeliama į tiesę AB. Gautas taškas E padalija atkarpą AB auksine proporcija.

Aukso pjūvio savybės apibūdinamos lygtimi: x*x – x – 1 = 0.

Šios lygties sprendimas:

Gamtoje taip pat buvo aptiktas antrasis auksinis pjūvis, kuris išplaukia iš pagrindinės dalies ir suteikia dar vieną santykį 44:56. Ši proporcija buvo atrasta architektūroje, taip pat atsiranda kuriant pailgo horizontalaus formato vaizdų kompozicijas.

Šį segmentą AB padalijame aukso pjūvio proporcija. Iš taško C atkuriame statmeną CD. Naudodami spindulį AB randame tašką D, tada sujungiame jį tiese su tašku A. Statųjį kampą ACD padaliname pusiau. Iš taško C nubrėžiame liniją iki sankirtos su AD. Gautą tašką pavadinkime raide E, kuri atkarpą AD dalija santykiu 44:56.

Paveikslėlyje parodyta antrojo aukso pjūvio linijos padėtis. Jis yra viduryje tarp aukso pjūvio linijos ir vidurinės stačiakampio linijos.

Jei kvadratas AEFD yra izoliuotas nuo auksinio stačiakampio ABCD, likusi dalis EBCF pasirodo kaip naujas auksinis stačiakampis, kurį vėl galima padalyti į kvadratinį GHCF ir mažesnį auksinį stačiakampį EBHG. Kartodami šią procedūrą daug kartų, gausime begalinę kvadratų ir auksinių stačiakampių seką, kuri galiausiai susilieja į tašką O. Atkreipkite dėmesį, kad toks begalinis tų pačių geometrinių figūrų, tai yra kvadrato ir auksinio stačiakampio, kartojimas suteikia mums galimybę. nesąmoningas estetinis ritmo ir harmonijos pojūtis. Manoma, kad būtent dėl ​​šios aplinkybės daugelis stačiakampio formos daiktų, su kuriais susiduria žmogus (degtukų dėžutės, žiebtuvėliai, knygos, lagaminai), dažnai būna auksinio stačiakampio formos. Pavyzdžiui, mes plačiai naudojame kreditines korteles kasdieniame gyvenime, tačiau nekreipiame dėmesio į tai, kad daugeliu atvejų kreditinės kortelės yra auksinio stačiakampio formos.

Auksinis stačiakampis ir kredito kortelė

Pentagrama ir Pentagonas

Jei pentagramoje nupieštume visas įstrižaines, rezultatas bus gerai žinoma penkiakampė žvaigždė. Įrodyta, kad įstrižainių susikirtimo taškai pentagramoje visada yra auksinio įstrižainių pjūvio taškai. Šiuo atveju šie taškai sudaro naują pentagramą FGHKL. Naujoje pentagramoje galima nubrėžti įstrižaines, kurių susikirtimas suformuoja kitą pentagramą, ir šis procesas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Taigi atrodo, kad pentagrama ABCDE susideda iš begalinio skaičiaus pentagramų, kurias kiekvieną kartą sudaro įstrižainių susikirtimo taškai. Šis nesibaigiantis tos pačios geometrinės figūros kartojimas sukuria ritmo ir harmonijos pojūtį, kurį nesąmoningai užfiksuoja mūsų protas. Pentagrama ypač žavėjosi pitagoriečiai ir buvo laikoma jų pagrindiniu atpažinimo ženklu. JAV karinio departamento pastatas yra pentagramos formos ir vadinamas „Pentagon“, o tai reiškia įprastą penkiakampį.

Taigi, aš jums pasakiau, kas yra aukso pjūvis, o dabar, kadangi mano pranešimas yra skirtas aukso pjūvio taikymui, dabar apie tai pakalbėsiu.

Triušio problema. Fibonačio skaičiai.

TRIUŠIO PROBLEMA

Kažkas pastatė porą triušių tam tikroje vietoje, iš visų pusių aptvertoje siena, kad sužinotų, kiek porų triušių gims per metus, jei triušių prigimtis tokia, kad po mėnesio zuikių pora duoda. atsiveda kita pora, o triušiai atsiveda nuo antro mėnesio po jo gimimo.

Aišku, jei pirmąją triušių porą laikysime naujagimiais, tai antrą mėnesį vis tiek turėsime vieną porą; už 3 mėnesį - 1+1=2; 4 mėnesį - 2 + 1 = 3 poros (dėl dviejų esamų porų tik viena pora susilaukia palikuonių); 5 mėnesį - 3+2=5 poros (tik 2 poros, gimusios 3 mėn., susilauks palikuonių 5 mėn.); 6 mėnesį - 5 + 3 = 8 poros (nes palikuonių susilauks tik tos poros, kurios gims 4 mėnesį) ir kt.

Iš šios problemos buvo atrasta tam tikra natūraliųjų skaičių sekos seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo trečiojo, yra lygus dviejų ankstesnių narių sumai: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. ,Ši seka vadinama Fibonačio seka, o jos nariai vadinami Fibonačio skaičiais. Kito serijos nario ir ankstesnio nario santykis linkęs į auksinį pjūvį

Algebroje jis paprastai žymimas graikiška raide phi.

Auksinis pjūvis neaplenkė ir žmonių.

Auksinis pjūvis yra harmoningų formų konstravimo pagrindas, nes tai absoliutus formos formavimosi gamtoje dėsnis, kurio dalimi esame ir mes. Harmonijos dėsniai yra skaitmeniniai dėsniai.

Modeliuodami paprastą žmogų, aukso proporcijoms apskaičiuoti greičiausiai nesiimame liniuotės ir skaičiuoklės. Mes tiesiog intuityviai jaučiame šias formas, nes žmogaus formos mūsų akyse susiduria dažniau nei bet kas kitas, tačiau kurdami neįprastos būtybės, augalo, struktūros modelį, turėtume pasitelkti geometrijos ir aukso pjūvio žinias, kad į darbo rezultatą galima žiūrėti be pasibjaurėjimo, nors jei tai yra pasibjaurėjimo jausmas, kurio tu sieki, tai žinai, ką turi daryti.

Bet kokiu atveju gamtos dėsnių (skaitinių dėsnių) žinojimas padeda mums kuo greičiau pasiekti norimą rezultatą.

Vokiečių profesorius Zeisingas XVIII amžiaus viduryje atliko puikų darbą: išmatavo daugiau nei 2000 kūnų ir pasiūlė, kad aukso pjūvis išreiškia vidutinį statistinį dėsnį: kūno padalijimas iš bambos taško yra vienas iš pagrindinių aukso pjūvio rodiklių. . Vyro kūno proporcijos svyruoja per vidutinį santykį 13:8 = 1,625 ir yra šiek tiek artimesnės auksiniam pjūviui nei moters kūno proporcijos, kurių atžvilgiu vidutinė proporcijos reikšmė išreiškiama santykiu 8: 5 = 1,6. Naujagimio santykis yra 1:1, iki 13 metų – 1,6, o sulaukus 21 metų – lygus vyro. Aukso pjūvio proporcijos atsiranda ir kitų kūno dalių atžvilgiu – peties, dilbio ir plaštakos ilgio, plaštakos ir pirštų ir kt.

mažiems vaikams (apie metų amžiaus) proporcija yra 1:1.

Neseniai mūsų šiuolaikinis amerikiečių chirurgas Stephenas Marquartas, naudodamasis „aukso pjūvio“ principu, sukūrė geometrinę kaukę, kuri gali būti gražaus veido etalonas. Norėdami sužinoti, ar veidas atitinka idealą, tiesiog nukopijuokite kaukę ant skaidrios plėvelės ir uždėkite ją ant tinkamo dydžio nuotraukos.

Taigi, padalinę atkarpą tarp vainiko ir Adomo obuolio „auksinės pjūvio“ atžvilgiu, gauname tašką, esantį ant antakių linijos (B). Toliau auksiniu būdu dalijant gautas dalis, nuosekliai gauname nosies galiuką (C), smakro galą (D).

Aukso pjūvis žmogaus ausyje.

Žmogaus vidinėje ausyje yra organas, vadinamas Cochlea ("Sraigė"), kuris atlieka garso vibracijos perdavimo funkciją. Ši kaulinė struktūra užpildyta skysčiu ir taip pat yra sraigės formos, turinti stabilią logaritminę spiralės formą = 73º 43'.

Kadangi aukso pjūvis palietė žmogų, tai pasakysiu, kad jo yra net DNR molekulės struktūroje.

Visa informacija apie gyvų būtybių fiziologines savybes yra saugoma mikroskopinėje DNR molekulėje, kurios struktūroje taip pat yra auksinės proporcijos dėsnis. DNR molekulė susideda iš dviejų vertikaliai susipynusių spiralių. Kiekvienos iš šių spiralių ilgis yra 34 angstremai, o plotis - 21 angstremas. (1 angstromas yra šimta milijoninė centimetro dalis). Taigi, 21 ir 34 yra skaičiai, einantys vienas po kito Fibonačio skaičių sekoje, tai yra, DNR molekulės logaritminės spiralės ilgio ir pločio santykis turi aukso santykio formulę 1:1,618.

Kiekvienas iš mūsų bent kartą gyvenime buvome prie jūros ir rankose laikėme spiralės formos kriauklę. Na, štai: toks apvalkalas susuktas spirale. Jei jį išskleisite, gausite šiek tiek trumpesnį nei gyvatės ilgį. Mažas dešimties centimetrų kiautas turi 35 cm ilgio spiralę.Spiralės gamtoje labai paplitusios. Auksinio pjūvio idėja bus neišsami, nekalbant apie spiralę.

Archimedo spiralė

Archimedo dėmesį patraukė spirališkai riesto apvalkalo forma. Jis išstudijavo tai ir sugalvojo spiralės lygtį. Pagal šią lygtį nubrėžta spiralė vadinama jo vardu. Jos žingsnio padidėjimas visada vienodas. Šiuo metu Archimedo spiralė plačiai naudojama technikoje.

Aukso pjūvis tapyboje ir fotografijoje.

Fotografijoje

Kai norime padaryti gražią nuotrauką, dažnai pastebime, kad nežinome, kaip mintyse išdėstyti objektus taip, kad vėliau baigtoje nuotraukoje jie atrodytų kuo geriau. Auksinio pjūvio taisyklė gali mums tai padėti. Naudodami horizontalias ir vertikalias linijas, vaizdo ieškiklį padalijame į devynis vienodus sektorius. Keturi centriniai horizontalių ir vertikalių linijų susikirtimo taškai bus mums svarbūs.

Praktinis aukso santykio taisyklės panaudojimas kuriant kadrą.

Žemiau pateikiamos įvairios tinklelių parinktys, sukurtos remiantis „Zloto skyriaus“ taisykle, įvairioms kompozicijos parinktims. Norint suprasti principus, reikia eksperimentuoti savarankiškai, pabandyti ir derinti tinklelius su savo nuotraukomis. Pagrindiniai tinkleliai atrodo taip:

Čia yra katės nuotrauka, kuri yra atsitiktinėje kadro vietoje.

Dabar sąlyginai padalinkime rėmą į segmentus, proporcingai 1,62 bendro ilgio iš kiekvienos rėmo pusės. Segmentų sankirtoje bus pagrindiniai „vaizdiniai centrai“, kuriuose verta įdėti būtinus pagrindinius vaizdo elementus.

Perkelkime savo katę į „vizualinių centrų“ taškus.

Taip dabar atrodo kompozicija. Argi ne daug geriau?

Norėdami suprasti aukso pjūvio esmę, pabandykite patys nufotografuoti ant sodo suoliuko sėdintį žmogų. Įsitikinkite, kad harmoningiausia bus nuotrauka, kurioje žmogus sėdi ne centre ar pakraštyje, o taške, atitinkančiame aukso pjūvį (suolą dalijant santykiu maždaug 2:3).

Tapyboje

Senovės Graikijos meistrai, mokėję sąmoningai panaudoti auksinę proporciją, kuri iš esmės yra labai paprasta, sumaniai pritaikė jos harmonines vertybes visų rūšių mene ir pasiekė tokį tobulumą formų, išreiškiančių savo socialinius idealus, struktūroje. , kuris retai sutinkamas pasaulio meno praktikoje. Visa senovės kultūra praėjo po auksinės proporcijos ženklu. Jie žinojo šią proporciją Senovės Egipte. Tai parodysiu naudodamas tokių tapytojų pavyzdį kaip: Rafaelis, Leonardo da Vinci, Botticelli, Shishkin.

Rafaelio parengiamajame eskize raudonos linijos nubrėžtos nuo semantinio kompozicijos centro – taško, kur kario pirštai susiglaudė aplink vaiko kulkšnį – išilgai vaiko figūrų, jį priglaudusios moters, kario su pakeltu kardu, ir tada išilgai tos pačios grupės figūrų dešinėje eskizo pusėje. Jei natūraliai sujungsite šias dalis lenkta punktyrine linija, gausite labai tikslius rezultatus. auksine spirale! Tai galima patikrinti išmatuojant spirale nupjautų atkarpų ilgių santykį tiesiose linijose, einančiose per kreivės pradžią. „Nekaltųjų žudynės“ Rafaelis

Garsiojoje freskoje „Atėnų mokykla“, kur mokslo šventykloje yra didžiųjų antikos filosofų draugija, mūsų dėmesį patraukia didžiausio senovės graikų matematiko Euklido grupė, analizuojanti sudėtingą piešinį. Išradingas dviejų trikampių derinys taip pat sukonstruotas pagal aukso pjūvio proporciją: jis gali būti įrašytas į stačiakampį, kurio kraštinių santykis yra 5/8. Šį piešinį stebėtinai lengva įterpti į viršutinę architektūros dalį. Viršutinis trikampio kampas remiasi į arkos kertinį akmenį arčiausiai žiūrovo esančioje srityje, apatinis kampas liečia perspektyvų nykimo tašką, o šoninė dalis rodo erdvinio tarpo tarp dviejų arkų dalių proporcijas. .

Leonardas da Vinčis

Leonardo da Vinci sukurtas Monos Lizos (La Gioconda) portretas patrauklus tuo, kad paveikslo kompozicija pastatyta ant „auksinių trikampių“, tiksliau trikampių, kurie yra taisyklingo žvaigždės formos penkiakampio gabalėliai.

„Paskutinė vakarienė“ yra brandžiausias ir išsamiausias Leonardo kūrinys. Šiame paveiksle meistras vengia visko, kas galėtų užgožti pagrindinę jo vaizduojamo veiksmo eigą, pasiekia retą kompozicinio sprendimo įtikinamumą. Centre jis įdeda Kristaus figūrą, išryškindamas ją atidarant duris. Jis sąmoningai atitolina apaštalus nuo Kristaus, kad dar labiau pabrėžtų jo vietą kompozicijoje. Galiausiai, siekdamas to paties tikslo, jis priverčia visas perspektyvines linijas susilieti taške tiesiai virš Kristaus galvos. Leonardo savo mokinius suskirsto į keturias simetriškas grupes, kupinas gyvybės ir judėjimo. Jis stalą daro mažą, o valgyklą – griežtą ir paprastą. Tai suteikia jam galimybę sutelkti žiūrovo dėmesį į milžinišką plastinę galią turinčias figūras. Visos šios technikos atspindi gilų kūrybinio plano, kuriame viskas pasverta ir į ką atsižvelgiama, tikslingumą. “

Botticelli - "Veneros gimimas"

Paveiksle vaizduojamas ne pats deivės gimimas, o po jo sekęs momentas, kai ji, oro genijų dvelksmo vedama, pasiekia krantą, kur ją pasitinka viena iš malonių. Pasak senovės graikų poeto Hesiodo (Theogony, 188-200), Venera gimė iš jūros – iš putų, kurias gamina kastruoto Urano (SATURN) lytiniai organai, kuriuos Kronas įmetė į vandenį. Ji išplaukia į krantą atviru kiautu, varoma švelnaus vėjelio ir galiausiai nusileidžia Pafose (Kipras) – vienoje pagrindinių senovėje garbinimo ir kulto vietų. Jos graikiškas vardas Afroditė gali būti kilęs iš aphros, reiškiančio „putos“.

Netoli Citeros salos iš sniego baltumo jūros bangų putų gimė Urano dukra Afroditė. Lengvas, glostantis vėjelis atnešė ją į Kipro salą. Ten jaunasis Oras apsupo iš jūros bangų išlindusią meilės deivę. Jie aprengė ją aukso spalvos drabužiais ir vainikavo kvepiančių gėlių vainiku. Kur tik Afroditė žengdavo, gėlės nuostabiai augo. Visas oras buvo pilnas kvapų. Erotas ir Himerotas nuvedė nuostabiąją deivę į Olimpą. Dievai ją garsiai pasveikino. Nuo tada auksinė Afroditė, amžinai jauna, gražiausia iš deivių, visada gyveno tarp Olimpo dievų.

Šiame garsiame I. I. Šiškino paveiksle aukso pjūvio motyvai aiškiai matomi. Ryškiai saulės apšviesta pušis (stovi pirmame plane) paveikslo ilgį dalija pagal aukso pjūvį. Į dešinę nuo pušies yra saulės apšviesta kalva. Jis padalija dešinę paveikslo pusę horizontaliai pagal aukso pjūvį. Kairėje nuo pagrindinės pušies auga daugybė pušų – jei norite, galite sėkmingai toliau dalyti paveikslą pagal aukso pjūvį.

Ryškių vertikalių ir horizontalių buvimas paveiksle, padalijantis jį aukso pjūvio atžvilgiu, suteikia pusiausvyros ir ramybės pobūdį, atitinkantį menininko ketinimą. Kai menininko intencija kitokia, jei, tarkime, jis kuria paveikslą su sparčiai besivystančiu veiksmu, tokia geometrinės kompozicijos schema (vyraujant vertikalioms ir horizontalioms) tampa nepriimtina.

Aukso pjūvis architektūroje

Architektūra – tai mūsų sąmonės gebėjimas įtvirtinti epochos jausmą materialiomis formomis. Le Corbusier

Vienas gražiausių senovės graikų architektūros kūrinių – Partenonas (V a. pr. Kr.).

Paveikslėlyje parodyta daugybė modelių, susijusių su aukso pjūviu.

Partenono grindų plane taip pat galite pamatyti „auksinius stačiakampius“:

Paryžiaus Dievo Motinos katedros pastato proporcijose taip pat matome auksinę proporciją.

M. Kazakovas savo kūryboje gana plačiai naudojo „auksinį pjūvį“.

Jo talentas buvo daugialypis, tačiau jis labiau atsiskleidė daugybėje įgyvendintų gyvenamųjų pastatų ir dvarų projektų. Pavyzdžiui, „auksinį pjūvį“ galima rasti Kremliaus Senato pastato architektūroje.

Daugelis senovės skulptorių statydami savo kūrinius naudojo aukso proporcijos taisyklę.

Apsvarstykite tai naudodami Apolono Belvederio statulos pavyzdį: bambos linija padalija pavaizduoto asmens ūgį aukso pjūvio atžvilgiu.

Ir dar keli pavyzdžiai, įrodantys, kad skulptūroje laikomės aukso pjūvio.

Doryforas iš Polikleito ir jo harmoninė analizė

Milo Venera ir jos harmoninė analizė

Mikelandželo Dovydas

6. Aukso pjūvis gyvojoje gamtoje

Viskas pasaulyje yra susijusi su viena pradžia:

Bangų judėjime - Šekspyro sonetas,

Gėlės simetrijoje yra visatos pamatai,

O paukščių giesmėje – planetų simfonija.

Gyvoji gamta savo raidoje siekė kuo harmoningiausios organizacijos, kurios kriterijus yra auksinė proporcija, pasireiškianti įvairiais lygmenimis – nuo ​​atominių derinių iki aukštesniųjų gyvūnų kūnų struktūros.

Saulėgrąžų žiedai ir sėklos, ramunėlės, žvyneliai ananasų vaisiuose, spygliuočių spurgai „supakuoti“ logaritminėmis spiralėmis, susisukus vienas į kitą. Be to, „dešinės“ ir „kairės“ spiralių skaičiai visada yra susiję vienas su kitu, kaip ir kaimyniniai Fibonačio skaičiai.

Daugelio augalų lapų išdėstymo (filotaksės) formulėse Fibonačio skaičiai išdėstyti griežtai reguliariai - per vieną, pavyzdžiui, lazdynas -1/3, ąžuolas, vyšnia - 2/5, šaltalankis -5/13

Apsvarstykite cikorijos ūglį. Iš pagrindinio stiebo susiformavo ūglis. Pirmasis lapas buvo čia pat. Ūglis stipriai išsviedžia į erdvę, sustoja, paleidžia lapą, bet šį kartą jis trumpesnis nei pirmasis, vėl išsviedžia į erdvę, bet su mažesne jėga išleidžia dar mažesnio dydžio lapą ir vėl išsviedžia .

Jei pirmoji emisija laikoma 100 vienetų, tai antrasis yra lygus 62 vienetams, trečiasis – 38, ketvirtasis – 24 ir tt Žiedlapių ilgiui taip pat taikoma auksinė proporcija. Augdamas ir užkariaudamas erdvę augalas išlaikė tam tikras proporcijas. Jo augimo impulsai palaipsniui mažėjo proporcingai aukso pjūviui.

Daugelis drugelių ir kitų vabzdžių neišvengė susidūrimų su šiuo nuostabiu, mano nuomone, aukso pjūvio reiškiniu. Kūno krūtinės ir pilvo dalių dydžių santykis atitinka auksinę proporciją. Sulenkusi sparnus kandis sudaro taisyklingą lygiakraštį trikampį. Tačiau kai tik ji išskleis sparnus, pamatysite tą patį kūno dalijimo iš 2,3,5,8 principą. Laumžirgis taip pat kuriamas pagal auksinės proporcijos dėsnius: uodegos ir kūno ilgių santykis lygus viso ilgio ir uodegos ilgio santykiui.

Snaigės yra vandens kristalai, kurie matomi mūsų plika akimi. Jie yra neįtikėtinai gražūs ir skirtingos formos, tačiau visi jų komponentai yra geometrinių formų ir be išimties yra pastatyti pagal auksinės proporcijos principą.

Auksinis pjūvis paveikė net poeziją ir muziką.

Poezijoje

Kiekvieno eilėraščio struktūroje negalime nepastebėti tam tikrų raštų, vadinasi, yra auksinė proporcija ir Fibonačio skaičiai. Kas antrame A. S. Puškino eilėraštyje yra aukso pjūvio pavyzdys (raštas). O veidrodžio simetrijos pavyzdys (modelis) yra kiekviename trečiame. Vienas iš dviejų raštų randamas dviejuose iš trijų eilėraščių (524 arba 66 %), o abu raštai – kas penktame eilėraštyje (150 arba 19 %).

Pagrindinės aukso pjūvio funkcijos Puškino darbuose yra šios:

}