Diberikan dua kotak prisma segi empat beraturan. Prisma segi empat beraturan. Keindahan dari soal matematika ini tidak hanya mengetahui hasilnya, tetapi juga memahami mengapa strategi tersebut berhasil

Pada tugas 13 UN Unified State tingkat dasar kita akan membahas soal-soal stereometri, tetapi bukan soal abstrak, melainkan dengan contoh ilustratif. Ini bisa berupa masalah pada ketinggian cairan dalam bejana, yang saya bahas di bawah, atau masalah dalam memodifikasi gambar - misalnya, bagian atasnya terpotong. Anda harus bersiap untuk menyelesaikan soal-soal sederhana dalam stereometri - soal-soal tersebut biasanya langsung mengarah pada soal-soal di bidang datar;

Analisis varian khas tugas No. 13 Ujian Negara Bersatu dalam matematika tingkat dasar

Opsi 13MB1

Air dalam bejana berbentuk silinder berada pada ketinggian h = 80 cm. Berapakah ketinggian air jika dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder lain yang jari-jari alasnya 4 kali lebih besar dari bejana tersebut? Berikan jawaban Anda dalam sentimeter.

Algoritma eksekusi:

1. Tuliskan rumus volume silinder.
2. Gantikan nilai silinder dengan cairan pada kasus pertama dan kedua.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk ketinggian kedua h 2 .
4. Gantikan data dan hitung nilai yang diperlukan.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus volume silinder.

Jika Anda lupa rumus volume silinder, izinkan saya mengingatkan Anda bagaimana cara menurunkannya dengan mudah. Volume bangun datar sederhana seperti kubus dan silinder dapat dihitung dengan mengalikan luas alas dengan tingginya. Luas alas silinder sama dengan luas lingkaran, yang mungkin Anda ingat: π r 2.

Oleh karena itu, volume silinder sama dengan π r 2 jam

Mari kita gantikan nilai silinder dengan cairan pada kasus pertama dan kedua.

V 1 = π r 1 2 jam 1

V 2 = π r 2 2 jam 2

Volume zat cair tidak berubah, sehingga volumenya dapat disamakan.

Ruas kirinya sama, artinya ruas kanannya bisa sama.

π r 1 2 jam 1 = π r 2 2 jam 2

Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan terhadap ketinggian kedua h 2 .

h 2 – faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui.

jam 2 =(π r 1 2 jam 1)/ π r 2 2

Sesuai dengan kondisi tersebut, luas alas menjadi 4 kali lebih besar, yaitu r 2 = 4 r 1.

Mari kita substitusikan r 2 = 4 r 1 ke dalam ekspresi h 1.

Kita peroleh: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Kita kurangi pecahan yang dihasilkan dengan π, kita peroleh h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Kita kurangi pecahan yang dihasilkan sebesar r 1, kita peroleh h 2 = h 1/16.

Mari kita substitusikan data yang diketahui: h 2 = 80/ 16 = 5 cm.

Opsi 13MB2

Diberikan dua kotak berbentuk prisma segi empat beraturan. Kotak pertama empat setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua, dan kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih kecil dari volume kotak kedua?

Algoritma eksekusi:

1. Temukan rasio volume.
2. Kurangi pecahan yang dihasilkan.

Larutan:

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Mari kita cari perbandingan volumenya.

Menurut kondisi c 1 = 4,5 c 2 (kotak pertama empat setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua),

b 2 = 3 b 1 (kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama).

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 4.5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 4.5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 4,5/9 = ½.

Volume kotak pertama 2 kali lebih kecil dari volume kotak kedua.

Opsi 13MB3

Diberikan dua kotak berbentuk prisma segi empat beraturan. Kotak pertama satu setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua, dan kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih kecil dari volume kotak kedua?

Algoritma eksekusi:

1. Tuliskan rumus menghitung volume prisma segi empat beraturan.
2. Tuliskan secara umum rumus mencari volume pada kasus pertama dan kedua.
3. Temukan rasio volume.
4. Ubah ekspresi yang dihasilkan dengan mempertimbangkan rasio pengukuran prisma pertama dan kedua.
5. Kurangi pecahan yang dihasilkan.

Larutan:

Mari kita tuliskan rumus menghitung volume prisma segi empat beraturan.

Mari kita tuliskan secara umum rumus mencari volume pada kasus pertama dan kedua.

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Mari kita cari perbandingan volumenya.

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2)

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan dengan mempertimbangkan rasio pengukuran prisma pertama dan kedua.

Sesuai dengan syarat, c 1 = 1,5 c 2 (kotak pertama satu setengah kali lebih tinggi dari kotak kedua), b 2 = 3 b 1 (kotak kedua tiga kali lebih lebar dari kotak pertama).

Karena ini adalah prisma segi empat beraturan, alasnya berbentuk persegi, yang berarti kedalaman kotak kedua juga tiga kali kedalaman kotak pertama, yaitu a 2 = 3 a 1

Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus rasio volume:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 1.5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 1.5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

Mari kita kurangi pecahan yang dihasilkan sebesar a 1 · b 1 · c 2 . Kita mendapatkan:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 1,5/9 = 15/(10 9) = 3/(2 9 ) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Volume kotak pertama 6 kali lebih kecil dari volume kotak kedua.

Jawaban:6.

Opsi 13MB4

Semua simpulnya digergaji dari kubus kayu (lihat gambar). Berapa banyak permukaan yang dimiliki polihedron yang dihasilkan (tepi yang tidak terlihat tidak ditunjukkan pada gambar)?

Pertama, mari kita ingat berapa banyak sisi dan simpul yang dimiliki kubus: enam sisi dan delapan simpul. Sekarang, di setiap titik sudut, permukaan baru terbentuk setelah digergaji, yang berarti kubus yang dimodifikasi dalam tugas tersebut memiliki enam permukaan asli dan delapan permukaan baru (setelah digergaji). Totalnya kita mendapatkan: 6 + 8 = 14 wajah.

Jika kita ditanya berapa banyak simpul yang dimiliki “kubus” baru tersebut. Jelasnya, jika bukan satu ada tiga, dan hanya ada delapan, maka kita peroleh: 8 3 = 24

Opsi 13MB5

Dua silinder diberikan. Jari-jari alas dan tinggi silinder pertama masing-masing adalah 2 dan 6, dan silinder kedua adalah 6 dan 4. Berapa kali volume silinder kedua lebih besar dari volume silinder pertama?

Algoritma eksekusi

1. Kami menuliskan rumus untuk menghitung volume silinder.
2. Kami memperkenalkan notasi untuk jari-jari alas dan tinggi silinder pertama. Kami menyatakan parameter serupa dari silinder ke-2 dengan cara yang sama.
3. Kami membuat rumus volume silinder ke-1 dan ke-2.
4. Kami menghitung rasio volume.

Larutan:

Volume silinder tersebut adalah: V=πR 2 H. Mari kita nyatakan jari-jari alas silinder pertama dengan R 1, dan tingginya dengan H 1. Oleh karena itu, kami menyatakan jari-jari alas silinder ke-2 dengan R 2, dan tingginya dengan H 2.

Dari sini kita mendapatkan: V 1 =πR 1 2 H1,V 2 =πR 2 2 jam 2.

Mari kita tuliskan rasio volume yang dibutuhkan:

.

Kami mengganti data numerik ke dalam relasi yang dihasilkan:

.

Kesimpulan: volume silinder ke-2 6 kali lebih besar dari volume silinder ke-1.

Opsi 13MB6

5 liter air dituangkan ke dalam tangki berbentuk prisma lurus. Setelah bagian tersebut terendam seluruhnya dalam air, ketinggian air di dalam tangki naik 1,4 kali lipat. Temukan volume bagian tersebut. Berikan jawaban Anda dalam sentimeter kubik, karena ada 1000 sentimeter kubik dalam satu liter.

Algoritma eksekusi

1. Kami memperkenalkan sebutan untuk volume sebelum dan sesudah perendaman bagian tersebut. Biarlah sebagaimana mestinya V 1 Dan V 2.
2. Kami memperbaiki nilai untuk V 1. Kami mengungkapkan V 2 melalui V 1. Menemukan nilainya V 2.
3. Kami mengubah hasil yang diperoleh dalam liter menjadi cm kubik.

Larutan:

Volume tangki sebelum menyelam V 1=5 (aku). Karena setelah bagian tersebut dicelupkan, volumenya menjadi sama V 2. Sesuai kondisi kenaikannya 1,4 kali lipat, jadi V 2=1,4V 1.

Dari sini kita mendapatkan: V 2=1,4·5=7 (l).

Jadi, selisih volume yang membentuk volume suatu bagian adalah:

V 2 –V 1=7–5=2 (aku).

2 aku=2·1000=2000 (cc).

Opsi 13MB7

Air dalam bejana berbentuk silinder berada pada ketinggian h = 80 cm. Berapakah ketinggian air jika dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder lain yang jari-jari alasnya dua kali jari-jari alas pertama? Berikan jawaban Anda dalam sentimeter.

Algoritma eksekusi

1. Kami menuliskan rumus untuk menghitung volume silinder.
2. Berdasarkan rumus ini, kami menuliskan 2 persamaan - untuk menghitung volume air di bejana ke-1 dan ke-2. Untuk melakukan ini, kami menggunakan indeks 1 dan 2 yang sesuai dalam rumus.
3. Karena air hanya dituangkan dari satu bejana ke bejana lain, volumenya tidak berubah. Oleh karena itu, kami menyamakan persamaan yang dihasilkan. Dari persamaan tunggal yang dihasilkan kita mencari ketinggian air di bejana ke-2, yang dinyatakan dengan tingginya jam 2.

Larutan:

Volume silinder tersebut adalah: V=S basis h=πR 2 jam.

Volume air dalam bejana pertama: V 1 =πR 1 2 jam 1.

Volume di bejana ke-2: V 2 =πR 2 2 jam 2.

Kami menyamakan V 1 Dan V 2: πR 1 2 jam 1 =πR 2 2 jam 2.

Kami mengurangi dengan π dan mengekspresikan jam 2:

.

Dengan syarat R 2=2R 1. Dari sini:

Opsi 13MB8

Semua simpulnya digergaji dari prisma kayu segitiga biasa (lihat gambar). Berapa banyak simpul yang dimiliki polihedron yang dihasilkan (tepi tak terlihat tidak ditunjukkan pada gambar)?

Algoritma eksekusi

1. Tentukan jumlah titik sudut prisma segitiga.
2. Mari kita analisa perubahan yang akan terjadi saat menggergaji semua simpul. Kami menghitung jumlah simpul dari polihedron baru.

Larutan:

Simpul prisma membentuk simpul alas (atas dan bawah). Karena alas prisma segitiga beraturan adalah segitiga beraturan, maka prisma tersebut mempunyai 3·2=6 titik sudut.

Dengan memotong bagian sudut prisma, kita mendapatkan segitiga kecil (dibandingkan dengan ukuran prisma itu sendiri). Hal ini juga ditunjukkan pada gambar. Artinya, alih-alih setiap simpul, 3 simpul baru terbentuk. Akibatnya, jumlahnya akan menjadi sama: 6·3=18.

Opsi 13MB9

Diberikan dua kotak berbentuk prisma segi empat beraturan yang berdiri di atas alas. Kotak pertama empat setengah kali lebih rendah dari kotak kedua, dan kotak kedua lebih sempit dari kotak pertama. Berapa kali volume kotak pertama lebih besar dari volume kotak kedua?

Algoritma eksekusi

1. Kami memperkenalkan notasi untuk parameter linier kotak dan volumenya.
2. Kami menentukan ketergantungan parameter linier sesuai dengan kondisi.
3. Kami menuliskan rumus untuk menghitung volume prisma.
4. Mari kita sesuaikan rumus ini untuk volume kotak.
5. Menemukan rasio volume.

Larutan:

Karena Bentuk kotaknya adalah prisma beraturan, kemudian alasnya berbentuk persegi. Oleh karena itu, kita dapat menetapkan panjang dan lebar setiap kotak dengan cara yang sama. Biarlah ini untuk kotak pertama sebuah 1, dan untuk yang kedua sebuah 2. Kami menunjukkan ketinggian kotak yang sesuai jam 1 Dan jam 2. Volume – V 1 Dan V 2.

Sesuai dengan kondisinya, jam 2=4,5jam 1, sebuah 1=3sebuah 2.

Volume prisma sama dengan: V=S utama h. Karena ada persegi di dasar kotak, kalau begitu S utama =a 2. Dari sini: V=a 2 jam.

Untuk kotak pertama yang kami miliki: V 1 =sebuah 1 2 jam 1. Untuk kotak ke-2: V 2 =sebuah 2 2 jam 2.

Kemudian kita mendapatkan relasinya:

Opsi 13MB10

Dalam bejana berbentuk kerucut, ketinggian cairan mencapai ½ tingginya. Volume bejana tersebut adalah 1600 ml. Berapa volume cairan yang dituangkan? Berikan jawaban Anda dalam mililiter.

Algoritma eksekusi

1. Kita buktikan bahwa kerucut yang diberikan pada kondisi tersebut serupa.
2. Kami menentukan koefisien kesamaan.
3. Dengan menggunakan sifat volume benda sejenis, kita mencari volume zat cair.

Larutan:

Jika kita perhatikan bagian kerucut sepanjang dua generatriknya yang letaknya berlawanan (bagian aksial), kita melihat bahwa segitiga kerucut besar dan segitiga kecil (dibentuk oleh cairan) yang diperoleh dengan cara ini adalah serupa. Ini mengikuti persamaan sudutnya. Itu. kita punya: kerucut memiliki tinggi dan jari-jari alas yang sama. Dari sini kita menyimpulkan: karena Jika parameter linier kerucut serupa, maka kerucut tersebut serupa.

Sesuai dengan ketentuan, tinggi kerucut kecil (cair) adalah tinggi kerucut. Artinya koefisien kemiripan kerucut kecil dan kerucut besar adalah ½.

Kami menerapkan kesamaan benda, yang terdiri dari fakta bahwa volumenya dihubungkan sebagai koefisien kesamaan dalam kubus. Mari kita nyatakan volume kerucut besar V 1, kecil - V 2. Kita mendapatkan:

.

Sejak dengan syarat V 1=1600 ml, lalu V 2=1600/8=200ml.

Opsi 13MB11

Diberikan dua bola berjari-jari 4 dan 1. Berapa kali volume bola yang lebih besar lebih besar dari volume bola yang lebih kecil?

Algoritma eksekusi

1. Kami menuliskan rumus untuk menghitung volume bola.
2. Mari kita sesuaikan rumus untuk masing-masing bola. Untuk melakukan ini, kami menggunakan indeks 1 dan 2.
3. Kami menuliskan rasio volume dan menghitungnya dengan mensubstitusi data numerik dari kondisi tersebut.

Larutan:

Volume bola dihitung dengan rumus: .

Jadi volume bola pertama (yang lebih besar) adalah , bola ke-2 (lebih kecil) – .

Mari buat rasio volume:

Kami mengganti data numerik dari kondisi ke dalam rumus yang dihasilkan:

Kesimpulan: Volume bola yang lebih besar adalah 64 kali lebih besar.

Opsi 13MB12

Dua silinder diberikan. Jari-jari alas dan tinggi silinder pertama masing-masing adalah 4 dan 18, dan silinder kedua adalah 2 dan 3. Berapa kali luas permukaan lateral silinder pertama lebih besar dari luas permukaan lateral silinder kedua? ?

Algoritma eksekusi

1. Kita tuliskan rumus untuk menentukan luas permukaan samping silinder.
2. Kami menulis ulang dua kali menggunakan indeks yang sesuai - untuk silinder ke-1 (lebih besar) dan ke-2 (lebih kecil).
3. Mencari perbandingan luas. Kami menghitung rasio menggunakan data numerik dari kondisi.

Larutan:

Luas permukaan sisi silinder dihitung sebagai berikut: S=2πRH.

Untuk silinder pertama kita memiliki: S 1 =2π R 1 jam 1. Untuk silinder ke-2: S 2 =2π R2H2.

Mari kita buat rasio luas berikut:

Mari kita cari nilai numerik dari rasio yang dihasilkan:

Kesimpulan: luas permukaan lateral silinder 1 12 kali lebih besar.

Opsi 13MB13

Sebuah bola homogen berdiameter 3 cm beratnya 162 gram. Berapa gram berat bola berdiameter 2 cm yang terbuat dari bahan yang sama?

Algoritma eksekusi

1. Kami menuliskan rumus untuk menentukan massa bola yang lebih besar melalui massa jenis dan volume.
2. Volume dalam rumus ini ditulis melalui volume bola (melalui jari-jarinya).
3. Kami menuliskan rumus massa bola yang lebih kecil, dan menulis volume dalam radius (dengan analogi dengan paragraf 1 dan 2).
4. Karena kedua bola terbuat dari bahan yang sama, kita dapat menggunakan nilai massa jenis yang ditemukan dalam rumus massa bola yang lebih kecil. Kami menghitung massa yang dibutuhkan.

Larutan:

Massa bola yang lebih besar (1) sama dengan: m 1 =ρ V 1. Volume bola tersebut adalah V 1 = Cairan dituangkan ke dalam tangki berbentuk prisma segi empat beraturan dengan panjang sisi alas 40 cm. Untuk mengukur volume suatu bagian yang berbentuk kompleks, ia dicelupkan seluruhnya ke dalam cairan ini. Hitunglah volume suatu benda jika setelah dicelupkan, tinggi zat cair dalam tangki bertambah 10 cm. Berikan jawabanmu dalam sentimeter kubik.

Algoritma eksekusi

1. Kita tentukan bagian prisma yang sesuai dengan volume bagian yang terendam.
2. Kami menghitung volume bagian berdasarkan rumus menentukan volume prisma lurus dengan persegi di alasnya.

Larutan:

Suatu bagian yang dicelupkan ke dalam zat cair mempunyai volume yang sama dengan kolom zat cair yang tingginya 10 cm, yaitu. perbedaan yang timbul antara tinggi awal zat cair dan tinggi akhir (setelah direndam). Artinya bagian tersebut mempunyai volume yang sama dengan bagian zat cair yang menempati volume 40x40x10 (cm).

Mari kita temukan volume ini.

Yang saya temukan di situs DataGenetics. Silakan kirimkan kesalahan apa pun terkait artikel ini melalui pesan pribadi.

Dalam soal ini, ada 100 narapidana yang duduk di sebuah penjara, masing-masing diberi nomor dari 1 sampai 100. Kepala penjara memutuskan untuk memberikan kesempatan kepada narapidana untuk dibebaskan, dia memberi tahu mereka syarat ujian, dan jika semua narapidana lulus. ujiannya, barulah mereka dibebaskan. Jika salah satu dari mereka gagal dalam ujian, maka semua narapidana akan mati.

Tugas

Kepala penjara pergi ke ruang rahasia dan menyiapkan 100 kotak bertutup. Pada setiap kotak ia memberi nomor yang diberi nomor 1 sampai 100. Kemudian ia membawa 100 tablet kertas, sesuai dengan jumlah tahanan, dan memberi nomor pada tablet-tablet tersebut dari 1 sampai 100. Setelah itu, ia mencampur 100 tablet dan menempatkan satu tablet di setiap kotak, menutup tutupnya. Narapidana tidak melihat bagaimana sipir penjara melakukan semua tindakan ini.

Kompetisi dimulai, sipir penjara membawa setiap narapidana satu per satu ke sebuah ruangan yang berisi kotak-kotak dan memberitahu para narapidana bahwa mereka harus menemukan sebuah kotak yang berisi tanda dengan nomor narapidana. Narapidana mencoba menemukan plat nomor mereka dengan membuka kotak. Setiap orang diperbolehkan membuka hingga 50 kotak; jika masing-masing narapidana menemukan nomornya, maka narapidana tersebut akan dibebaskan, jika setidaknya salah satu dari mereka tidak menemukan nomornya dalam 50 kali percobaan, maka semua narapidana akan mati.

Agar narapidana bisa dibebaskan, SEMUA narapidana harus lulus ujian.

Jadi seberapa besar kemungkinan para tahanan akan diampuni?

• Setelah kotak dibuka oleh narapidana dan ia memeriksa tandanya, kotak itu dimasukkan kembali ke dalam kotak dan tutupnya ditutup kembali;
• Piring tidak dapat ditukar;
• Narapidana tidak boleh meninggalkan petunjuk satu sama lain atau berinteraksi satu sama lain dengan cara apa pun setelah ujian dimulai;
• Narapidana diperbolehkan mendiskusikan strategi sebelum ujian dimulai.

Apa strategi terbaik untuk narapidana?

Pertanyaan tambahan:

Jika sesama narapidana (bukan peserta ujian) mempunyai kesempatan untuk memasuki ruang rahasia sebelum ujian dimulai, periksa semua tanda di semua kotak dan (opsional, tetapi tidak wajib) menukar dua tanda dari dua kotak ( dalam hal ini, teman tersebut tidak akan memiliki kesempatan untuk - memberi tahu para narapidana tentang akibat dari tindakannya), strategi apa yang harus dia ambil untuk meningkatkan peluang keselamatan para narapidana?

Apakah solusinya tidak mungkin?

Pada pandangan pertama, tugas ini tampaknya hampir tidak ada harapan. Tampaknya peluang setiap narapidana menemukan tandanya sendiri secara mikroskopis kecil. Selain itu, narapidana tidak dapat bertukar informasi satu sama lain selama ujian berlangsung.

Peluang satu narapidana adalah 50:50. Hanya ada 100 kotak dan dia dapat membuka hingga 50 kotak untuk mencari tandanya. Jika dia membuka kotak-kotak itu secara acak dan membuka setengah dari seluruh kotak, dia akan menemukan tandanya di setengah kotak yang terbuka, atau tandanya akan tetap berada di 50 kotak yang tertutup. Peluang keberhasilannya adalah ½.

Mari kita ambil dua tahanan. Jika keduanya memilih kotak secara acak, peluang masing-masing kotak adalah ½, dan keduanya ½x½=¼.
(untuk dua narapidana, kesuksesan akan terjadi pada satu dari empat kasus).

Untuk tiga tahanan peluangnya adalah ½ × ½ × ½ = ⅛.

Untuk 100 narapidana, peluangnya adalah: ½ × ½ × … ½ × ½ (dikalikan 100 kali).

Ini sama dengan

Pr ≈ 0,0000000000000000000000000000008

Artinya, peluangnya sangat kecil. Dalam situasi ini, kemungkinan besar semua tahanan akan mati.

Jawaban yang luar biasa

Jika setiap tahanan membuka kotak secara acak, kecil kemungkinannya mereka akan lulus ujian. Ada strategi di mana narapidana dapat mengharapkan keberhasilan lebih dari 30% dari keseluruhan kasus. Ini adalah hasil yang luar biasa luar biasa (jika Anda belum pernah mendengar soal matematika ini sebelumnya).

Lebih dari 30% untuk 100 tahanan! Ya, ini bahkan lebih baik daripada peluang dua tahanan, asalkan mereka membuka kotak secara acak. Tapi bagaimana ini mungkin?

Jelas bahwa satu untuk setiap narapidana, kemungkinannya tidak boleh lebih dari 50% (bagaimanapun juga, tidak ada cara untuk komunikasi antar narapidana). Namun jangan lupa bahwa informasi tersebut disimpan dalam susunan piring di dalam kotak. Tidak ada seorang pun yang mengacak tanda-tanda di antara kunjungan individu narapidana ke ruangan tersebut, sehingga kami dapat menggunakan informasi ini.

Larutan

Pertama, saya akan memberi tahu Anda solusinya, lalu saya akan menjelaskan mengapa ini berhasil.

Strateginya sangat mudah. Tahanan pertama membuka kotak dengan nomor yang tertulis di bajunya. Misalnya, narapidana bernomor 78 membuka sebuah kotak bernomor 78. Jika dia menemukan nomornya pada tanda di dalam kotak, baguslah! Jika tidak, dia melihat nomor pada pelat di kotak “miliknya” dan kemudian membuka kotak berikutnya dengan nomor tersebut. Setelah membuka kotak kedua, dia melihat nomor pelat di dalam kotak ini dan membuka kotak ketiga dengan nomor ini. Selanjutnya, kita cukup mentransfer strategi ini ke kotak yang tersisa. Agar lebih jelas, lihat gambar:

Pada akhirnya, tahanan akan menemukan nomornya atau mencapai batas 50 kotak. Pada pandangan pertama, hal ini tampaknya tidak ada gunanya dibandingkan dengan sekadar memilih sebuah kotak secara acak (dan hal ini berlaku untuk satu tahanan), tetapi karena 100 tahanan akan menggunakan set kotak yang sama, hal ini masuk akal.

Indahnya soal matematika ini tidak hanya mengetahui hasilnya, tetapi juga pemahamannya Mengapa strategi ini berhasil.

Jadi mengapa strategi ini berhasil?

Setiap kotak berisi satu tanda - dan tanda ini unik. Artinya pelat tersebut berada di dalam kotak dengan nomor yang sama, atau menunjuk ke kotak yang berbeda. Karena semua tanda adalah unik, untuk setiap kotak hanya ada satu tanda yang menunjuk ke sana (dan hanya ada satu cara untuk sampai ke kotak itu).

Kalau dipikir-pikir, kotak-kotak itu membentuk rantai melingkar yang tertutup. Satu kotak hanya dapat menjadi bagian dari satu rantai, karena di dalam kotak hanya ada satu penunjuk ke kotak berikutnya dan, oleh karena itu, di kotak sebelumnya hanya ada satu penunjuk ke kotak tertentu (pemrogram dapat melihat analogi dengan daftar tertaut) .

Jika kotak tidak mengarah ke dirinya sendiri (jumlah kotak sama dengan jumlah pelat di dalamnya), maka kotak tersebut berada dalam rantai. Beberapa rantai mungkin terdiri dari dua kotak, ada pula yang lebih panjang.

Karena semua narapidana memulai dengan sebuah kotak dengan nomor yang sama dengan pakaian mereka, maka menurut definisi, mereka ditempatkan pada rantai yang berisi tanda mereka (hanya ada satu tanda yang menunjuk ke kotak itu).

Dengan menjelajahi kotak-kotak dalam lingkaran di sepanjang rantai ini, mereka dijamin pada akhirnya akan menemukan tandanya.

Satu-satunya pertanyaan yang tersisa adalah apakah mereka akan menemukan tandanya dalam 50 gerakan.

Panjang rantai

Agar seluruh narapidana lulus ujian, panjang rantai maksimal harus kurang dari 50 kotak. Jika rantainya lebih panjang dari 50 kotak, tahanan dengan nomor dari rantai ini akan gagal dalam ujian - dan semua tahanan akan mati.

Jika panjang maksimal rantai terpanjang kurang dari 50 kotak, maka semua narapidana akan lulus ujian!

Pikirkan tentang ini sejenak. Ternyata hanya ada satu rantai yang lebih panjang dari 50 kotak dalam setiap tata letak pelat (kita hanya punya 100 kotak, jadi jika satu rantai lebih panjang dari 50, maka sisanya akan lebih pendek dari 50 pada akhirnya) .

Kemungkinan kesepakatan berantai panjang

Setelah Anda meyakinkan diri sendiri bahwa agar berhasil, panjang rantai maksimum harus kurang dari atau sama dengan 50, dan hanya boleh ada satu rantai panjang dalam himpunan mana pun, kita dapat menghitung probabilitas untuk lulus ujian:

Sedikit lagi matematika

Jadi apa yang kita perlukan untuk mengetahui kemungkinan adanya rantai panjang?

Untuk rantai dengan panjang l, peluang munculnya kotak-kotak di luar rantai adalah:

Ada (l-1) dalam kumpulan angka ini! cara untuk menempatkan tanda.

Tanda-tanda yang tersisa dapat ditemukan (100-l)! cara (jangan lupa panjang rantai tidak melebihi 50).

Mengingat hal ini, banyak permutasi yang mengandung rantai dengan panjang tepat l: (>50)

Ternyata ada 100(!) cara menyusun tanda-tanda tersebut, sehingga peluang adanya rantai dengan panjang l sama dengan 1/l. Omong-omong, hasil ini tidak bergantung pada jumlah kotak.

Seperti yang telah kita ketahui, hanya ada satu pilihan yang mempunyai panjang rantai > 50, sehingga peluang keberhasilan dihitung menggunakan rumus berikut:

Hasil

31,18% - probabilitas bahwa ukuran rantai terpanjang akan kurang dari 50 dan masing-masing tahanan akan dapat menemukan tandanya, mengingat batas 50 percobaan.

Peluang semua narapidana menemukan tandanya dan lulus ujian adalah 31,18%

Di bawah ini adalah grafik yang menunjukkan probabilitas (pada sumbu y) untuk semua rantai dengan panjang l (pada sumbu x). Warna merah mewakili semua “kegagalan” (kurva yang diberikan di sini hanyalah grafik 1/l). Hijau berarti "sukses" (perhitungannya sedikit lebih rumit untuk bagian grafik ini karena ada beberapa cara untuk menentukan panjang maksimum<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Bilangan harmonik (bagian artikel ini ditujukan untuk para geek)

Dalam matematika, bilangan harmonik ke-n adalah jumlah kebalikan dari n bilangan pertama yang berurutan dalam deret natural.

Mari kita hitung batasnya jika alih-alih 100a kotak, kita mempunyai sejumlah besar kotak yang berubah-ubah (mari kita asumsikan kita mempunyai total 2n kotak).

Konstanta Euler-Mascheroni adalah konstanta yang didefinisikan sebagai limit selisih antara jumlah parsial suatu deret harmonik dan logaritma natural suatu bilangan.

Dengan bertambahnya jumlah narapidana, jika sipir mengizinkan narapidana membuka setengah dari seluruh kotak, maka peluang keselamatan cenderung 30,685%

(Jika Anda membuat keputusan di mana tahanan menebak kotak secara acak, maka seiring bertambahnya jumlah tahanan, kemungkinan keselamatan cenderung nol!)

Pertanyaan tambahan

Apakah ada orang lain yang ingat pertanyaan lanjutannya? Apa yang dapat dilakukan rekan kita yang suka membantu untuk meningkatkan peluang kita untuk bertahan hidup?

Sekarang kita sudah tahu solusinya, jadi strateginya sederhana: dia harus mempelajari semua tanda dan menemukan rantai kotak terpanjang. Jika rantai terpanjang kurang dari 50, maka ia tidak perlu mengganti pelat sama sekali, atau menggantinya agar rantai terpanjang tidak menjadi lebih panjang dari 50. Namun, jika dia menemukan rantai yang panjangnya lebih dari 50 kotak, yang perlu dia lakukan hanyalah menukar isi dua kotak dari rantai tersebut untuk membagi rantai tersebut menjadi dua rantai yang lebih pendek.

Akibat dari strategi ini, tidak akan ada rantai panjang dan semua narapidana dijamin mendapatkan tanda dan keselamatan. Jadi, dengan menukar kedua tanda tersebut, kita mengurangi kemungkinan keselamatan menjadi 100%!

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Pada prisma segitiga beraturan ABCA_1B_1C_1, sisi alasnya adalah 4 dan rusuk sisinya adalah 10. Hitunglah luas penampang prisma pada bidang yang melalui titik tengah rusuk AB, AC, A_1B_1 dan A_1C_1.

Tunjukkan solusi

Larutan

Perhatikan gambar berikut.

Oleh karena itu, ruas MN adalah garis tengah segitiga A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Juga, KL=\frac12BC=2. Selain itu, MK = NL = 10. Oleh karena itu, segi empat MNLK adalah jajar genjang. Karena MK\paralel AA_1, maka MK\perp ABC dan MK\perp KL. Oleh karena itu, segi empat MNLK adalah persegi panjang. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Volume prisma segi empat beraturan ABCDA_1B_1C_1D_1 adalah 24 . Titik K berada di tengah tepi CC_1. Temukan volume piramida KBCD.

Tunjukkan solusi

Larutan

Sesuai dengan ketentuan, KC adalah tinggi piramida KBCD. CC_1 adalah tinggi prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Karena K adalah titik tengah CC_1, maka KC=\frac12CC_1. Biarkan CC_1=H , lalu KC=\frac12H. Perhatikan juga itu S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Kemudian, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Karena itu, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Hitunglah luas permukaan lateral prisma segi enam beraturan yang sisi alasnya 6 dan tingginya 8.

Tunjukkan solusi

Larutan

Luas permukaan lateral prisma dicari dengan rumus sisi S. = P dasar · h = 6a\cdot h, dimana P dasar. dan h berturut-turut adalah keliling alas dan tinggi prisma sama dengan 8, dan a adalah sisi segi enam beraturan sama dengan 6. Oleh karena itu, sisi S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Air dituangkan ke dalam bejana yang berbentuk prisma segitiga biasa. Ketinggian air mencapai 40 cm. Berapakah tinggi permukaan air jika dituangkan ke dalam bejana lain yang bentuknya sama, yang alasnya dua kali lebih besar dari bejana pertama? Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.

Tunjukkan solusi

Larutan

Misalkan a adalah sisi alas bejana pertama, maka 2 a adalah sisi alas bejana kedua. Dengan syarat volume zat cair V pada bejana pertama dan kedua adalah sama. Mari kita nyatakan dengan H tingkat kenaikan cairan dalam bejana kedua. Kemudian V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Dan, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Dari sini \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4 jam, H=10.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Pada prisma heksagonal beraturan ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 semua sisinya sama dengan 2. Tentukan jarak antara titik A dan E_1.

Tunjukkan solusi

Larutan

Segitiga AEE_1 berbentuk persegi panjang, karena tepi EE_1 tegak lurus terhadap bidang alas prisma, maka sudut AEE_1 adalah sudut siku-siku.

Kemudian, dengan teorema Pythagoras, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Mari kita cari AE dari segitiga AFE menggunakan teorema kosinus. Setiap sudut dalam segi enam beraturan adalah 120^(\circ). Kemudian AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\kiri (-\frac12 \kanan).

Jadi, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F.F.Lysenko, S.Yu.Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Temukan luas permukaan lateral prisma lurus, yang alasnya terletak belah ketupat dengan diagonal-diagonal sama 4\sqrt5 dan 8, dan sisi sampingnya sama dengan 5.

Tunjukkan solusi

Larutan

Luas permukaan lateral prisma lurus dicari dengan menggunakan rumus sisi S. = P dasar · h = 4a\cdot h, dimana P dasar. dan h, keliling alas dan tinggi prisma berturut-turut adalah 5, dan a adalah sisi belah ketupat. Mari kita cari sisi belah ketupat dengan menggunakan fakta bahwa diagonal-diagonal belah ketupat ABCD saling tegak lurus dan dibagi dua oleh titik potongnya.

Latihan:

Pada prisma segi empat beraturan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, titik K diambil pada rusuk CC 1 sehingga SC:KS 1 = 1:2.

a) Buatlah bagian prisma dengan bidang yang melalui titik D dan K sejajar diagonal alas AC.

b) Tentukan sudut antara bidang penampang dan bidang alas jika CC 1 = 4,5√ 2, AB = 3.

Larutan:

a) Karena prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 beraturan, maka ABCD adalah persegi dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama panjang.

Mari kita buat bagian prisma dengan bidang yang melalui titik D dan K sejajar AC. Garis perpotongan bidang potong dan bidang AA 1 C 1 melalui titik K dan sejajar AC.

Pada bidang ACC 1, melalui titik K kita tarik ruas KF sejajar dengan diagonal AC.

Karena permukaan A 1 ADD 1 dan B 1 BCC 1 prisma adalah sejajar, maka menurut sifat-sifat bidang sejajar, garis perpotongan bidang penampang dan permukaan-permukaan tersebut adalah sejajar. Ayo PK || F.D. FPKD segi empat merupakan bagian wajib.

b) Tentukan sudut antara bidang penampang dan bidang alas. Misalkan bidang penampang tersebut memotong bidang alas sepanjang suatu garis lurus p yang melalui titik D. AC || FK, maka AC || p (jika sebuah bidang melewati garis yang sejajar dengan bidang lain dan memotong bidang tersebut, maka garis potong bidang tersebut sejajar dengan garis tersebut). Karena diagonal-diagonal persegi saling tegak lurus, maka BD ⊥ AC yang artinya
BD ⊥ hal. BD adalah proyeksi PD pada bidang ABC, jadi PD ⊥ p dengan teorema tiga tegak lurus. Oleh karena itu, ∠PDB adalah sudut dihedral linier antara bidang potong dan bidang alas.

FK || p, maka FK ⊥ PD. Pada FPKD segi empat kita mempunyai FD || PK dan KD || FP, artinya FPKD adalah jajar genjang, dan karena segitiga siku-siku FAD dan KCD sama panjang pada dua kakinya (AD = DC sebagai sisi-sisi persegi, FA = KC sebagai jarak antara garis sejajar AC dan FK), maka FPKD adalah jajar genjang. belah ketupat. Jadi PD = 2OD.

Sesuai kondisi CK: KC 1 = 1:2, maka KC = 1/3*CC 1 = 4.5√2 / 3 = 1.5√2.

V Δ DKC dengan teorema Pythagoras KD 2 = DC 2 + KC 2 , KD = =
√13,5.

AC = 3√2 sebagai diagonal persegi, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.

V Δ KOD menurut teorema Pythagoras OD 2 = KD 2 − OK 2,

OD= = 3.PD = 2OD = 6.

Pada segitiga siku-siku PDB cos ∠PDB = BD / PD = 3√2 / 6 = √2 / 2, maka ∠PDB = 45◦.

Jawaban: 45◦.

Seperti apa bentuk prisma segi empat beraturan? dan mendapat jawaban terbaik

Jawaban dari Sunting Piaf[guru]
Prisma adalah polihedron, yang dua sisinya (alas prisma) adalah poligon yang sama besar dengan sisi-sisi yang sejajar, dan sisi-sisi lainnya adalah jajar genjang, yang bidang-bidangnya sejajar dengan garis lurus. Jajar genjang AabB, BbcC, dan seterusnya disebut permukaan lateral; rusuk Aa, Bb, Cc, dan seterusnya disebut rusuk samping. Ketinggian prisma adalah setiap garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik pada alas ke bidang alas lainnya. Tergantung pada bentuk poligon yang terletak di alasnya, prisma dapat berupa: segitiga, segi empat, pentagonal, heksagonal, dll. Jika tepi lateral prisma tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka prisma tersebut adalah disebut lurus; jika tidak, itu adalah prisma miring. Jika suatu poligon beraturan terletak pada alas prisma lurus, maka prisma tersebut disebut juga beraturan.
Prisma beraturan adalah prisma lurus yang alasnya berupa poligon beraturan, dalam hal ini persegi.
Saya menggambar prisma lurus, tetapi bisa juga miring

Jawaban dari Akhir yang Bahagia[guru]
kubus

Jawaban dari 3 jawaban[guru]

Halo! Berikut pilihan topik beserta jawaban atas pertanyaan Anda: Seperti apa bentuk prisma segi empat beraturan?