Дұрыс төртбұрышты призманың екі қорабы берілген. Тұрақты төртбұрышты призма. Бұл математикалық есептің сұлулығы нәтижені білу ғана емес, сонымен қатар стратегияның не үшін жұмыс істейтінін түсіну

Бірыңғай мемлекеттік емтиханның негізгі деңгейінің 13-тапсырмасында біз стереометрия мәселелерімен айналысамыз, бірақ дерексіз емес, көрнекі мысалдармен. Бұл мен төменде талқылаған ыдыстардағы сұйықтық деңгейіндегі мәселелер немесе фигураны өзгертуге байланысты мәселелер болуы мүмкін - мысалы, шыңдары кесілген. Стереометриядағы қарапайым есептерді шешуге дайын болуыңыз керек - олар әдетте жазықтықтағы есептерге түседі, сізге тек сызбаны дұрыс қарау керек;

Негізгі деңгейдегі математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның №13 тапсырмаларының типтік нұсқаларын талдау

Опция 13MB1

Цилиндрлік ыдыстағы су h = 80 см деңгейде, егер оны табанының радиусы осыдан 4 есе үлкен басқа цилиндрлік ыдысқа құйса, су қандай деңгейде болады? Жауабыңызды сантиметрмен көрсетіңіз.

Орындау алгоритмі:

1. Цилиндр көлемінің формуласын жаз.
2. Бірінші және екінші жағдайда цилиндрдің мәндерін сұйықтықпен ауыстырыңыз.
3. Екінші биіктік h 2 үшін алынған теңдеуді шешіңіз.
4. Деректерді ауыстырып, қажетті мәнді есептеңіз.

Шешімі:

Цилиндр көлемінің формуласын жазайық.

Егер сіз цилиндр көлемінің формуласын ұмытып қалсаңыз, оны қалай оңай алуға болатынын еске салайын. Текшелер мен цилиндрлер сияқты қарапайым пішіндердің көлемін негіздің ауданын биіктікке көбейту арқылы есептеуге болады. Цилиндрдегі негіздің ауданы шеңбердің ауданына тең, ол сіз есіңізде болса керек: π r 2.

Демек, цилиндрдің көлемі π r 2 сағ тең

Бірінші және екінші жағдайда цилиндрдің мәндерін сұйықтықпен алмастырайық.

V 1 = π r 1 2 h 1

V 2 = π r 2 2 h 2

Сұйықтықтың көлемі өзгерген жоқ, сондықтан көлемдерді теңестіруге болады.

Сол жақтары тең, яғни оң жақтары тең болуы мүмкін.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

Алынған теңдеуді h 2 екінші биіктікке қатысты шешейік.

h 2 – белгісіз фактор. Белгісіз көбейткішті табу үшін көбейтіндіні белгілі көбейткішке бөлу керек.

h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2

Шарт бойынша базаның ауданы 4 есе үлкейді, яғни r 2 = 4 r 1.

h 1 өрнекіне r 2 = 4 r 1 орнына қоямыз.

Біз мынаны аламыз: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Алынған бөлшекті π-ге азайтамыз, h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2 аламыз.

Алынған бөлшекті r 1-ге азайтамыз, h 2 = h 1/16 аламыз.

Белгілі деректерді ауыстырайық: h 2 = 80/ 16 = 5 см.

Опция 13MB2

Дұрыс төртбұрышты призма түріндегі екі қорап берілген. Бірінші жәшік екіншісінен төрт жарым есе жоғары, ал екіншісі біріншіден үш есе кең. Бірінші қораптың көлемі екіншісінің көлемінен неше есе аз?

Орындау алгоритмі:

1. Көлемдік қатынасты табыңыз.
2. Алынған бөлшекті азайтыңыз.

Шешімі:

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Көлемдердің қатынасын табайық.

c 1 = 4,5 c 2 шарты бойынша (бірінші қорап екіншіден төрт жарым есе жоғары),

b 2 = 3 b 1 (екінші қорап біріншіден үш есе кең).

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 4,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 4,5/9 = ½.

Бірінші жәшіктің көлемі екіншісінің көлемінен 2 есе аз.

Опция 13MB3

Дұрыс төртбұрышты призма түріндегі екі қорап берілген. Бірінші жәшік екіншісінен бір жарым есе жоғары, ал екіншісі біріншіден үш есе кең. Бірінші қораптың көлемі екіншісінің көлемінен неше есе аз?

Орындау алгоритмі:

1. Дұрыс төртбұрышты призманың көлемін есептеу формуласын жаз.
2. Бірінші және екінші жағдайда көлемді табу формуласын жалпы түрде жазыңыз.
3. Көлемдік қатынасты табыңыз.
4. Алынған өрнекті бірінші және екінші призманың өлшемдерінің қатынасын ескере отырып түрлендіріңіз.
5. Алынған бөлшекті азайтыңыз.

Шешімі:

Дұрыс төртбұрышты призманың көлемін есептеу формуласын жазып алайық.

Бірінші және екінші жағдайда көлемді табу формуласын жалпы түрде жазып алайық.

V 1 = a 1 b 1 c 1

V 2 = a 2 b 2 c 2

Көлемдердің қатынасын табайық.

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2)

Алынған өрнекті бірінші және екінші призманың өлшемдерінің қатынасын ескере отырып түрлендірейік.

Шарт бойынша c 1 = 1,5 c 2 (бірінші жәшік екіншісінен бір жарым есе жоғары), b 2 = 3 b 1 (екінші жәшік біріншіден үш есе кең).

Бұл дұрыс төртбұрышты призмалар болғандықтан, табанында шаршы бар, яғни екінші қораптың тереңдігі де біріншісінің тереңдігінен үш есе көп, яғни a 2 = 3 a 1.

Осы өрнектерді көлемдік қатынас формуласына ауыстырайық:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 c 1)/ (a 2 b 2 c 2) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (3a 1 3b 1 c 2 ) = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2)

Алынған бөлшекті a 1 · b 1 · c 2 азайтайық. Біз алып жатырмыз:

V 1 / V 2 = (a 1 b 1 1,5c 2)/ (9a 1 b 1 c 2) = 1,5/9 = 15/(10 9) = 3/(2 9 ) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Бірінші жәшіктің көлемі екіншісінің көлемінен 6 есе аз.

Жауабы: 6.

Опция 13MB4

Оның барлық шыңдары ағаш текшеден кесілген (суретті қараңыз). Алынған көпбұрыштың неше беті бар (суретте көрінбейтін жиектері көрсетілмеген)?

Алдымен, текшенің қанша беті мен төбелері бар екенін еске түсірейік: алты бет және сегіз төбе. Енді әр шыңның орнында аралаудан кейін жаңа бет түзіледі, яғни тапсырмада өзгертілген текшенің алты түпнұсқа беті және сегіз жаңа беті бар (аралаудан кейін). Барлығын аламыз: 6 + 8 = 14 бет.

Егер бізден жаңа «текшенің» қанша шыңы бар деп сұраса. Әлбетте, егер біреудің орнына үшеу болса және олардың сегізі ғана болса, онда біз мынаны аламыз: 8 3 = 24

Опция 13MB5

Екі цилиндр беріледі. Бірінші цилиндрдің табанының радиусы мен биіктігі сәйкесінше 2 және 6, ал екіншісінде - 6 және 4. Екінші цилиндрдің көлемі біріншісінің көлемінен неше есе үлкен?

Орындау алгоритмі

1. Цилиндрдің көлемін есептеу үшін формуланы жазамыз.
2. Біз 1-цилиндрдің негізінің радиусы мен биіктігін белгілеуді енгіземіз. 2-ші цилиндрдің ұқсас параметрлерін ұқсас жолмен өрнектейміз.
3. 1-ші және 2-ші цилиндрлердің көлеміне формулалар құрастырамыз.
4. Біз көлемдік қатынасты есептейміз.

Шешімі:

Цилиндрдің көлемі: V=πR 2 Х. 1-ші цилиндр табанының радиусын R 1, ал биіктігін H 1 деп белгілейік. Осыған сәйкес 2-ші цилиндр табанының радиусын R 2, ал биіктігін Н 2 деп белгілейміз.

Осыдан біз аламыз: В 1 =πR 1 2 H1,V 2 =πR 2 2 H 2.

Қажетті көлем қатынасын жазайық:

.

Алынған қатынасқа сандық деректерді ауыстырамыз:

.

Қорытынды: 2-ші цилиндрдің көлемі 1-ші цилиндрдің көлемінен 6 есе артық.

Опция 13MB6

Түзу призма тәрізді ыдысқа 5 литр су құйылады. Бөлшек толығымен суға батырылғаннан кейін резервуардағы су деңгейі 1,4 есеге көтерілді. Бөлшектің көлемін табыңыз. Бір литрде 1000 текше сантиметр бар екенін біле отырып, жауабыңызды текше сантиметрмен беріңіз.

Орындау алгоритмі

1. Біз бөлікті батыруға дейін және одан кейінгі көлем үшін белгілерді енгіземіз. Соған сәйкес болсын V 1Және V 2.
2. мәнін бекітеміз V 1. білдіреміз V 2арқылы V 1. Мәнді табу V 2.
3. Біз литрмен алынған нәтижені текше см-ге айналдырамыз.

Шешімі:

Сүңгуір алдында резервуардың көлемі V 1=5 (л). Өйткені бөлікті батырғаннан кейін көлемі тең болды V 2. Шарт бойынша өсім 1,4 есе болды, яғни V 2=1,4V 1.

Осыдан біз аламыз: V 2=1,4·5=7 (л).

Сонымен, бөліктің көлемін құрайтын көлемдердің айырмашылығы мынаған тең:

V 2 –V 1=7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (cc).

Опция 13MB7

Цилиндрлік ыдыстағы су h = 80 см деңгейінде, егер оны табанының радиусы біріншіден екі есе үлкен басқа цилиндрлік ыдысқа құйса, су қандай деңгейде болады? Жауабыңызды сантиметрмен көрсетіңіз.

Орындау алгоритмі

1. Цилиндрдің көлемін есептеу үшін формуланы жазамыз.
2. Осы формулаға сүйене отырып, біз 2 теңдеуді жазамыз - 1-ші және 2-ші ыдыстардағы судың көлемін есептеу үшін. Ол үшін формуладағы сәйкес 1 және 2 индекстерді қолданамыз.
3. Су бір ыдыстан екінші ыдысқа жай құйылатындықтан, оның көлемі өзгермейді. Сондықтан алынған теңдеулерді теңестіреміз. Алынған жалғыз теңдеуден биіктікпен өрнектелген 2-ші ыдыстағы су деңгейін табамыз сағ 2.

Шешімі:

Цилиндрдің көлемі: V=S негізі h=πR 2 сағ.

1-ші ыдыстағы судың көлемі: V 1 =πR 1 2 сағ 1.

2-ші ыдыстағы көлем: V 2 =πR 2 2 сағ 2.

теңестіреміз V 1Және V 2: πR 1 2 сағ 1 =πR 2 2 сағ 2.

π-ке азайтамыз және өрнектейміз сағ 2:

.

Шарты бойынша R 2=2R 1. Осы жерден:

Опция 13MB8

Оның барлық шыңдары ағаш кәдімгі үшбұрышты призмадан кесілген (суретті қараңыз). Алынған көпбұрыштың қанша төбесі бар (суретте көрінбейтін шеттері көрсетілмеген)?

Орындау алгоритмі

1. Үшбұрышты призманың төбелерінің санын анықтаңыз.
2. Барлық шыңдарды кесу кезінде болатын өзгерістерді талдап көрейік. Жаңа көпбұрыштың төбелерінің санын есептейміз.

Шешімі:

Призманың төбелері табандардың төбелерін (жоғарғы және төменгі) құрайды. Дұрыс үшбұрышты призманың табандары дұрыс үшбұрыштар болғандықтан, мұндай призманың 3·2=6 төбесі болады.

Призманың төбелерін кесу арқылы біз оның орнына кішкентай (призманың өлшемімен салыстырғанда) үшбұрыштарды аламыз. Бұл суретте де көрсетілген. Яғни, әр шыңның орнына 3 жаңадан қалыптасады. Демек, олардың саны тең болады: 6·3=18.

Опция 13MB9

Негізінде тұрған кәдімгі төртбұрышты призма тәрізді екі қорап берілген. Бірінші жәшік екіншісінен төрт жарым есе төмен, ал екіншісі біріншіден тар. Бірінші қораптың көлемі екіншісінің көлемінен неше есе артық?

Орындау алгоритмі

1. Біз қораптардың сызықтық параметрлері және олардың көлемдері үшін белгілерді енгіземіз.
2. Шарт бойынша сызықтық параметрлердің тәуелділігін анықтаймыз.
3. Призманың көлемін есептеу формуласын жазамыз.
4. Бұл формуланы қораптардың көлеміне бейімдеп көрейік.
5. Көлемдердің қатынасын табу.

Шешімі:

Өйткені Жәшіктердің пішіні кәдімгі призма, содан кейін олардың табандары төртбұрыштар. Сондықтан әрбір қораптың ұзындығы мен енін бірдей белгілей аламыз. Бұл бірінші қорапқа болсын а 1, ал екіншісі үшін а 2. Біз қораптардың биіктігін сәйкесінше белгілейміз сағ 1Және сағ 2. Томдар – V 1Және V 2.

Шартқа сәйкес, сағ 2=4,5сағ 1, а 1=3а 2.

Призманың көлемі мынаған тең: В=S негізгі h. Өйткені онда жәшіктердің түбінде шаршы бар S негізгі =a 2. Осы жерден: V=a 2 сағ.

1-ші қорап үшін бізде: V 1 =a 1 2 сағ 1. 2-ші қорап үшін: V 2 =a 2 2 сағ 2.

Содан кейін біз қатынасты аламыз:

Опция 13MB10

Конус тәрізді ыдыста сұйықтық деңгейі ½ биіктікке жетеді. Ыдыс көлемі 1600 мл. Құйылған сұйықтықтың көлемі қандай? Жауабыңызды миллилитрмен көрсетіңіз.

Орындау алгоритмі

1. Шартта берілген конустардың ұқсас екенін дәлелдейміз.
2. Ұқсастық коэффициентін анықтаймыз.
3. Ұқсас денелердің көлемдерінің қасиетін пайдаланып, сұйықтың көлемін табамыз.

Шешімі:

Егер конустың оның екі қарама-қарсы орналасқан генератрисы (осьтік қимасы) бойымен кесіндісін қарастырсақ, осылайша алынған үлкен конус пен кішінің (сұйықтықтан пайда болған) үшбұрыштары ұқсас екенін көреміз. Бұл олардың бұрыштарының теңдігінен туындайды. Анау. бізде: конустардың биіктігі мен негізі радиустары ұқсас. Бұдан біз қорытынды жасаймыз: өйткені Егер конустардың сызықтық параметрлері ұқсас болса, онда конустар ұқсас болады.

Шарт бойынша шағын конустың (сұйықтың) биіктігі конустың ½ биіктігіне тең. Бұл кіші және үлкен конустардың ұқсастық коэффициенті ½ екенін білдіреді.

Біз денелердің ұқсастығын қолданамыз, ол олардың көлемдерінің текшедегі ұқсастық коэффициенті ретінде байланысқандығынан тұрады. Үлкен конустың көлемін белгілейік V 1, кішкентай – V 2. Біз алып жатырмыз:

.

Шарт бойынша V 1=1600 мл, содан кейін V 2=1600/8=200 мл.

Опция 13MB11

Радиустары 4 және 1 екі шар берілген. Үлкен шардың көлемі кішінің көлемінен неше есе артық?

Орындау алгоритмі

1. Біз доптың көлемін есептеу формуласын жазамыз.
2. Шарлардың әрқайсысына формуланы бейімдеп көрейік. Ол үшін 1 және 2 индекстерді қолданамыз.
3. Көлемдік қатынасты жазып, шарттың сандық мәліметтерін алмастыру арқылы есептейміз.

Шешімі:

Шардың көлемі мына формула бойынша есептеледі: .

Демек, 1-ші (үлкен) шардың көлемі тең , 2-ші (кіші) доп – .

Көлемдердің қатынасын құрайық:

Шарттағы сандық деректерді алынған формулаға ауыстырамыз:

Қорытынды: Үлкен шардың көлемі 64 есе үлкен.

Опция 13MB12

Екі цилиндр беріледі. Бірінші цилиндрдің базалық радиусы мен биіктігі сәйкесінше 4 және 18, ал екіншісінде - 2 және 3. Бірінші цилиндрдің бүйір бетінің ауданы екінші цилиндрдің бүйір бетінің ауданынан неше есе үлкен ?

Орындау алгоритмі

1. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын анықтау үшін формуланы жазамыз.
2. Біз оны сәйкес индекстерді пайдаланып екі рет қайта жазамыз - 1-ші (үлкен) және 2-ші (кіші) цилиндрлер үшін.
3. Ауданның қатынасын табу. Шарттағы сандық мәліметтерді пайдалана отырып, арақатынастарды есептейміз.

Шешімі:

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы келесідей есептеледі: S=2πRH.

1-ші цилиндр үшін бізде: S 1 =2π R 1 H 1. 2-ші цилиндр үшін: S 2 =2π R2H2.

Осы аудандардың арақатынасын құрайық:

Алынған қатынастың сандық мәнін табайық:

Қорытынды: 1-ші цилиндрдің бүйір бетінің ауданы 12 есе үлкен.

Опция 13MB13

Диаметрі 3 см біртекті шардың салмағы 162 грамм. Бірдей материалдан жасалған диаметрі 2 см шардың салмағы неше грамм?

Орындау алгоритмі

1. Үлкен шарлардың массасын тығыздық пен көлем арқылы анықтау формуласын жазамыз.
2. Бұл формуладағы көлем шардың көлемі арқылы жазылады (оның радиусы арқылы).
3. Біз кішірек шардың массасының формуласын жазамыз, ал көлемді радиус бойынша жазамыз (1 және 2-тармақтарға ұқсас).
4. Екі шар да бірдей материалдан жасалғандықтан, біз тығыздықтың табылған мәнін кішірек шардың массасы формуласында пайдалана аламыз. Біз қажетті массаны есептейміз.

Шешімі:

Үлкен (1-ші) шардың массасы мынаған тең: m 1 =ρ V 1. Бұл шардың көлемі V 1 = Сұйықтықты табанының бүйір жағы 40 см болатын кәдімгі төртбұрышты призма тәрізді резервуарға құяды. Күрделі пішінді бөліктің көлемін өлшеу үшін ол осы сұйықтыққа толығымен батырылады. Бөлшектің көлемін табыңыз, егер ол батырылғаннан кейін резервуардағы сұйықтық деңгейі 10 см-ге көтерілсе, жауабыңызды текше сантиметрмен беріңіз.

Орындау алгоритмі

1. Призманың батырылған бөлігінің көлеміне сәйкес бөлігін анықтаймыз.
2. Бөлшектің көлемін табанында квадраты бар түзу призманың көлемін анықтау формуласы бойынша есептейміз.

Шешімі:

Сұйықтыққа батырылған бөлік биіктігі 10 см болатын сұйықтық бағанына сәйкес көлемді алады, яғни. сұйықтықтың бастапқы биіктігі мен соңғы биіктігі (суға батырғаннан кейін) арасында пайда болатын айырмашылық. Бұл бөліктің көлемі 40x40x10 (см) көлемін алып жатқан сұйықтық бөлігіне тең екенін білдіреді.

Осы көлемді табайық.

Мен оны DataGenetics веб-сайтынан таптым. Осы мақалаға қатысты қателерді жеке хабарламалар арқылы жіберіңіз.

Бұл мәселеде түрмеде 100 тұтқын бар, олардың әрқайсысы 1-ден 100-ге дейін нөмірленген. Түрме бастығы тұтқындарға босатуға мүмкіндік беруді шешеді, ол сынақтың шарттарын айтады және егер барлық тұтқындар сынақтан өтсе. сынақтан өткізгеннен кейін олар босатылады. Егер олардың біреуі сынақтан өте алмаса, онда барлық тұтқындар өледі.

Тапсырма

Түрме бастығы құпия бөлмеге барып, қақпағы бар 100 жәшік дайындайды. Әр қорапқа 1-ден 100-ге дейін нөмірленген сандарды қояды. Содан кейін ол тұтқындардың санына қарай 100 қағаз таблетка әкеледі және бұл таблеткаларды 1-ден 100-ге дейін нөмірлейді. Осыдан кейін ол 100 таблетканы араластырады және әр қорапқа бір таблеткадан салады. қақпақты жабу. Тұтқындар түрме бастығының осы әрекеттердің барлығын орындағанын көрмейді.

Жарыс басталады, түрме бастығы әрбір тұтқынды бір-бірден қораптары бар бөлмеге апарады және тұтқындарға тұтқынның нөмірі жазылған белгі болатын қорапты табу керектігін айтады. Тұтқындар жәшіктерді ашу арқылы нөмірлерін табуға тырысады. Әр адамға 50 жәшікке дейін ашуға рұқсат етіледі; егер тұтқындардың әрқайсысы өз нөмірін тапса, онда тұтқындар босатылады, егер олардың кем дегенде біреуі 50 әрекетте өз нөмірін таппаса, онда барлық тұтқындар өледі.

Тұтқындарды босату үшін БАРЛЫҚ тұтқындар сынақтан өтуі керек.

Сонда тұтқындардың рақымшылыққа ұшырау мүмкіндігі қандай?

• Қорапты тұтқын ашқаннан кейін және ол белгіні тексергеннен кейін ол қайтадан жәшікке салынып, қақпағы қайтадан жабылады;
• Пластиналардың орнын ауыстыруға болмайды;
• Сынақ басталғаннан кейін қамаудағылар бір-біріне түсініктеме қалдыра алмайды немесе бір-бірімен ешбір жолмен әрекеттесе алмайды;
• Тұтқындарға сынақ басталғанға дейін стратегияны талқылауға рұқсат етіледі.

Тұтқындарға арналған ең жақсы стратегия қандай?

Қосымша сұрақ:

Егер сотталушының (сынаққа қатысушы емес) тестілеу басталғанға дейін құпия бөлмеге кіру мүмкіндігі болса, барлық қораптардағы барлық белгілерді қарап шығыңыз және (міндетті емес, бірақ міндетті емес) екі жәшіктен екі белгіні ауыстырыңыз ( бұл жағдайда досының мүмкіндігі болмайды - өз іс-әрекетінің нәтижесі туралы тұтқындарға хабарлау), ол тұтқындардың құтқарылу мүмкіндігін арттыру үшін қандай стратегияны қолдануы керек?

Шешім екіталай ма?

Бір қарағанда, бұл тапсырма дерлік үмітсіз болып көрінеді. Әрбір тұтқынның өз планшетін табу мүмкіндігі микроскопиялық тұрғыдан аз сияқты. Сонымен қатар, сотталғандар сынақ кезінде бір-бірімен ақпарат алмаса алмайды.

Бір тұтқынның мүмкіндігі 50:50. Бар болғаны 100 жәшік бар және ол өз белгісін іздеу үшін 50 жәшікке дейін аша алады. Егер ол жәшіктерді кездейсоқ ашып, барлық жәшіктердің жартысын ашса, ол жәшіктердің ашық жартысында өз белгісін табады немесе оның таңбасы жабық 50 жәшікте қалады. Оның табысқа жету мүмкіндігі ½.

Екі тұтқынды алайық. Екеуі де қораптарды кездейсоқ таңдаса, олардың әрқайсысының мүмкіндігі ½, ал екеуі үшін ½x½=¼ болады.
(екі тұтқын үшін сәттілік төрт жағдайдан бір жағдайда болады).

Үш тұтқын үшін коэффициент ½ × ½ × ½ = ⅛ болады.

100 тұтқын үшін коэффициенттер: ½ × ½ × … ½ × ½ (100 есе көбейтілген).

Бұл тең

Pr ≈ 0,000000000000000000000000000000008

Яғни, бұл өте аз мүмкіндік. Бұл жағдайда, ең алдымен, барлық тұтқындар өледі.

Керемет жауап

Әрбір тұтқын жәшіктерді кездейсоқ ашса, олардың сынақтан өтуі екіталай еді. Тұтқындар уақыттың 30%-дан астамында табыс күтетін стратегия бар. Бұл таңғаларлық керемет нәтиже (егер сіз бұл математика мәселесі туралы бұрын естімеген болсаңыз).

Барлық 100 тұтқынға 30%-дан астам! Иә, бұл екі тұтқынның жәшіктерді кездейсоқ ашатын мүмкіндігінен де жақсырақ. Бірақ бұл қалай мүмкін?

Әрбір тұтқынға бір-бірден мүмкіндік 50%-дан жоғары болмайтыны түсінікті (тұтқындар арасында байланыс жоқ). Бірақ ақпарат қораптардың ішіндегі пластиналардың орналасуында сақталатынын ұмытпаңыз. Бөлмеге жеке келушілер арасындағы белгілерді ешкім араластырмайды, сондықтан біз бұл ақпаратты пайдалана аламыз.

Шешім

Алдымен мен сізге шешімді айтамын, содан кейін оның неге жұмыс істейтінін түсіндіремін.

Стратегия өте оңай. Бірінші тұтқын киіміне жазылған сандықты ашады. Мысалы, №78 тұтқын 78 саны бар қорапты ашады. Егер ол қораптың ішіндегі белгіден өз нөмірін тапса, онда керемет! Егер жоқ болса, ол «өзінің» ұяшығындағы табақтағы нөмірге қарайды, содан кейін сол нөмір жазылған келесі ұяшықты ашады. Екінші қорапты ашып, осы қораптың ішіндегі табақтың нөміріне қарап, осы нөмір жазылған үшінші жәшікті ашады. Әрі қарай, біз бұл стратегияны қалған қораптарға ауыстырамыз. Түсінікті болу үшін суретке қараңыз:

Ақырында, тұтқын өз нөмірін табады немесе 50 қорап шегіне жетеді. Бір қарағанда, бұл жәй ғана қорапты кездейсоқ таңдаумен салыстырғанда (және бір тұтқын үшін солай) мағынасыз болып көрінеді, бірақ 100 тұтқынның барлығы бірдей қораптар жинағын пайдаланатындықтан, бұл мағынасы бар.

Бұл математикалық есептің сұлулығы нәтижені білу ғана емес, сонымен қатар түсіну Неліктенбұл стратегия жұмыс істейді.

Сонымен, стратегия неге жұмыс істейді?

Әрбір қорапта бір белгі бар - және бұл белгі бірегей. Бұл пластинаның бірдей нөмірі бар қорапта екенін немесе басқа қорапты көрсететінін білдіреді. Барлық белгілер бірегей болғандықтан, әрбір қорап үшін оны көрсететін бір ғана белгі бар (және сол қорапқа жетудің бір ғана жолы).

Егер сіз бұл туралы ойласаңыз, қораптар жабық дөңгелек тізбекті құрайды. Бір қорап тек бір тізбектің бөлігі болуы мүмкін, өйткені қораптың ішінде келесіге бір ғана көрсеткіш бар және сәйкесінше, алдыңғы жәшікте берілген жәшікке бір ғана көрсеткіш бар (бағдарламашылар байланыстырылған тізімдермен ұқсастығын көре алады) .

Егер қорап өзін көрсетпесе (қораптың саны ондағы пластинаның санына тең), онда ол тізбекте болады. Кейбір тізбектер екі қораптан тұруы мүмкін, кейбіреулері ұзағырақ.

Барлық тұтқындар киімдерімен бірдей сандық қораптан басталатындықтан, олар, анықтамасы бойынша, олардың белгісі бар шынжырға орналастырылады (сол қорапты көрсететін бір ғана белгі бар).

Осы тізбектің бойындағы шеңбердегі қораптарды зерттей отырып, олар өз белгілерін таба алады.

Олар 50 жүріспен өз белгісін таба ма, жоқ па деген сұрақ қана.

Тізбек ұзындығы

Барлық тұтқындар сынақтан өтуі үшін тізбектің максималды ұзындығы 50 қораптан аз болуы керек. Егер тізбек 50 қораптан ұзын болса, осы тізбектердегі нөмірлері бар тұтқындар сынақтан өте алмайды - және барлық тұтқындар өледі.

Ең ұзын тізбектің максималды ұзындығы 50 қораптан аз болса, онда барлық тұтқындар сынақтан өтеді!

Бұл туралы бір секундқа ойланыңыз. Пластиналардың кез келген орналасуында 50 қораптан ұзын бір ғана тізбек болуы мүмкін (бізде тек 100 қорап бар, сондықтан бір тізбек 50-ден ұзын болса, қалғаны соңында 50-ден қысқа болады) .

Ұзын тізбекті мәміленің мүмкіндігі

Табысқа жету үшін тізбектің максималды ұзындығы 50-ден аз немесе тең болуы керек және кез келген жиынтықта бір ғана ұзын тізбек болуы мүмкін екеніне көз жеткізгеннен кейін, сынақтан өту ықтималдығын есептей аламыз:

Кішкене математика

Сонымен, ұзын тізбектің болу ықтималдығын анықтау үшін не қажет?

Ұзындығы l болатын тізбек үшін қораптардың осы тізбектен тыс болу ықтималдығы мынаған тең:

Бұл сандар жинағында (l-1) бар! белгілерді орналастыру тәсілдері.

Қалған белгілерді табуға болады (100-л)! жолдары (тізбектің ұзындығы 50-ден аспайтынын ұмытпаңыз).

Осыны ескере отырып, дәл ұзындығы l тізбегін қамтитын ауыстырулар саны: (>50)

Белгілерді орналастырудың 100(!) жолы бар екен, сондықтан ұзындығы l тізбектің болу ықтималдығы 1/л-ге тең. Айтпақшы, бұл нәтиже қораптардың санына байланысты емес.

Біз бұрыннан білетініміздей, ұзындығы > 50 тізбегі бар бір ғана нұсқа болуы мүмкін, сондықтан сәттілік ықтималдығы мына формула арқылы есептеледі:

Нәтиже

31,18% - ең ұзын тізбектің өлшемі 50-ден аз болу ықтималдығы және 50 әрекеттің шегін ескере отырып, тұтқындардың әрқайсысы өз белгісін таба алады.

Барлық тұтқындардың өз белгілерін тауып, сынақтан өту ықтималдығы 31,18% құрайды.

Төменде ұзындығы l (x осінде) барлық тізбектер үшін ықтималдықтарды (y осінде) көрсететін график берілген. Қызыл түс барлық «сәтсіздіктерді» білдіреді (бұл жерде берілген қисық 1/л графигі ғана). Жасыл түс «сәттілік» дегенді білдіреді (графиктің бұл бөлігі үшін есептеу біршама күрделірек, өйткені максималды ұзындықты анықтаудың бірнеше жолы бар.<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Гармоникалық сан (мақаланың бұл бөлігі гектерге арналған)

Математикада n-ші гармоникалық сан деп натурал қатардағы бірінші n қатардағы сандардың кері сандарының қосындысын айтады.

Шектеуді есептейміз, егер 100a жәшіктердің орнына бізде еркін көп жәшіктер болса (барлығы 2n қорап бар деп есептейік).

Эйлер-Машерони тұрақтысы гармоникалық қатардың ішінара қосындысы мен санның натурал логарифмінің арасындағы айырманың шегі ретінде анықталған тұрақты шама.

Тұтқындар саны артқан сайын, егер күзетші тұтқындарға барлық жәшіктердің жартысын ашуға рұқсат берсе, онда құтқарылу мүмкіндігі 30,685% құрайды.

(Егер сіз тұтқындар жәшіктерді кездейсоқ болжайтын шешім қабылдасаңыз, тұтқындар саны артқан сайын құтқарылу ықтималдығы нөлге тең болады!)

Қосымша сұрақ

Қосымша сұрақты басқа біреу есінде ме? Біздің көмекші серігіміз аман қалу мүмкіндігімізді арттыру үшін не істей алады?

Енді біз шешімді білеміз, сондықтан мұнда стратегия қарапайым: ол барлық белгілерді зерттеп, қораптардың ең ұзын тізбегін табуы керек. Егер ең ұзын тізбек 50-ден аз болса, онда ол пластиналарды мүлдем өзгертудің қажеті жоқ немесе ең ұзын тізбек 50-ден ұзармайтындай етіп өзгерту керек. Дегенмен, егер ол 50 қораптан ұзын тізбекті тапса, оған тек екі қысқа тізбекке бөлу үшін сол тізбектегі екі қораптың мазмұнын ауыстыру жеткілікті.

Бұл стратегияның нәтижесінде ұзын тізбектер болмайды және барлық тұтқындарға олардың белгісі мен құтқарылуына кепілдік беріледі. Сонымен, екі белгіні ауыстыру арқылы біз құтқарылу ықтималдығын 100% дейін төмендетеміз!

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Тұрақты үшбұрышты ABCA_1B_1C_1 призмасында табанының қабырғалары 4, бүйір қырлары 10-ға тең. Призманың көлденең қимасының ауданын AB, AC, A_1B_1 және A_1C_1 қырларының ортаңғы нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен табыңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

Келесі суретті қарастырыңыз.

MN кесіндісі A_1B_1C_1 үшбұрышының орта сызығы болып табылады, сондықтан MN = \frac12 B_1C_1=2.Сияқты, KL=\frac12BC=2.Сонымен қатар, MK = NL = 10. Бұдан MNLK төртбұрышы параллелограмм екені шығады. MK\параллель AA_1 болғандықтан, онда MK\perp ABC және MK\perp KL. Сондықтан MNLK төртбұрышы тіктөртбұрыш болып табылады. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Жауап

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

ABCDA_1B_1C_1D_1 дұрыс төртбұрышты призманың көлемі 24 . K нүктесі - CC_1 жиегінің ортасы. KBCD пирамидасының көлемін табыңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

Шарт бойынша KC – KBCD пирамидасының биіктігі. CC_1 - ABCDA_1B_1C_1D_1 призманың биіктігі.

K CC_1 ортасының нүктесі болғандықтан KC=\frac12CC_1.Онда CC_1=H болсын KC=\frac12H. Мұны да ескеріңіз S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Содан кейін, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Демек, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Табан жағы 6, биіктігі 8 болатын дұрыс алтыбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

Призманың бүйір бетінің ауданы S жағы формуласы бойынша табылады. = P негізгі · h = 6a\cdot h, мұндағы P негізгі. және h сәйкесінше табанының периметрі мен призманың биіктігі 8-ге тең, ал а а дұрыс алтыбұрыштың қабырғасы 6-ға тең. Сондықтан S жағы. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Су кәдімгі үшбұрышты призма тәрізді ыдысқа құйылды. Су деңгейі 40 см-ге жетеді, егер табанының жағы біріншіден екі есе үлкен басқа бір пішіндегі ыдысқа құйылса, су деңгейі қандай болады? Жауабыңызды сантиметрмен көрсетіңіз.

Шешімді көрсету

Шешім

Бірінші ыдыстың табанының бүйір жағы а, онда 2 а екінші ыдыс табанының жағы болсын. Шарты бойынша бірінші және екінші ыдыстардағы V сұйықтығының көлемі бірдей. Екінші ыдыста сұйықтың көтерілген деңгейін Н деп белгілейік. Содан кейін V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,Және, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Осы жерден \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Кәдімгі алтыбұрышты призмада ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 барлық шеттері 2-ге тең. А және Е_1 нүктелерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

AEE_1 үшбұрышы тікбұрышты, EE_1 шеті призма табанының жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, AEE_1 бұрышы тік бұрыш болады.

Сонда Пифагор теоремасы бойынша AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Косинустар теоремасын пайдаланып AFE үшбұрышынан AE табайық. Дұрыс алтыбұрыштың әрбір ішкі бұрышы 120^(\circ). Содан кейін AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\сол (-\frac12 \оң).

Демек, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 8
Тақырыбы: Призма

Шарт

Түзу призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз, оның табанында диагональдары тең ромб орналасқан. 4\sqrt5және 8 және бүйір жиегі 5-ке тең.

Шешімді көрсету

Шешім

Түзу призманың бүйір бетінің ауданы S жағы формуласы арқылы табылады. = P негізгі · h = 4a\cdot h, мұндағы P негізгі. және h сәйкесінше табанының периметрі мен призманың биіктігі 5-ке тең, ал а - ромбтың қабырғасы. ABCD ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу нүктесі арқылы екіге бөлінетінін пайдаланып, ромбтың қабырғасын табайық.

Жаттығу:

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 дұрыс төртбұрышты призмада К нүктесі CC 1 шетінен SC: KS 1 = 1: 2 болатындай етіп алынады.

а) АС табанының диагональіне параллель D және K нүктелері арқылы өтетін жазықтықпен призманың кесіндісін сал.

б) CC 1 = 4,5√ болса, қима жазықтығы мен негіз жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз. 2, AB = 3.

Шешімі:

а) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 призмасы дұрыс болғандықтан, ABCD шаршы, ал бүйір беттері бірдей тіктөртбұрыштар.

D және K нүктелері арқылы айнымалы токқа параллель өтетін жазықтықпен призманың кесіндісін салайық. Кесу жазықтығы мен АА 1 С 1 жазықтығының қиылысу сызығы К нүктесі арқылы өтеді және айнымалы токқа параллель болады.

ACC 1 жазықтығында К нүктесі арқылы AC диагональіне параллель KF кесіндісін жүргіземіз.

Призманың A 1 ADD 1 және B 1 BCC 1 беттері параллель болғандықтан, параллель жазықтықтар қасиетіне сәйкес қима жазықтығы мен осы беттердің қиылысу сызықтары параллель болады. PK || жасайық Ф.Д. FPKD төртбұрышы - қажетті бөлім.

б) Қима жазықтығы мен табан жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз. Қима жазықтығы негіз жазықтығымен D нүктесі арқылы өтетін қандай да бір p түзуінің бойымен қиылсын. AC || FK, сондықтан AC || p (егер жазықтық басқа жазықтыққа параллель түзу арқылы өтіп, осы жазықтықты қиып өтсе, онда жазықтықтардың қиылысу сызығы осы түзуге параллель болады). Квадраттың диагональдары өзара перпендикуляр болғандықтан, BD ⊥ AC, яғни
BD ⊥ б. BD – PD-нің ABC жазықтығына проекциясы, сондықтан үш перпендикуляр теорема бойынша PD ⊥ p. Демек, ∠PDB – қиюшы жазықтық пен негіз жазықтығы арасындағы сызықтық екібұрышты бұрыш.

ФК || p, сондықтан FK ⊥ PD. FPKD төртбұрышында бізде FD || PK және KD || FP, яғни FPKD параллелограмм және FAD және KCD тікбұрышты үшбұрыштары екі катет бойынша тең болғандықтан (AD = DC шаршының қабырғалары, FA = KC AC және F K параллель түзулерінің арасындағы қашықтық), онда FPKD ромб. Демек, PD = 2OD.

CK шарты бойынша: KC 1 = 1: 2, онда KC = 1/3*CC 1 = 4,5√2 / 3 = 1,5√2.

V Δ Пифагор теоремасы бойынша DKC KD 2 = DC 2 + KC 2, KD = =
√13,5.

AC = 3√2 квадраттың диагоналы ретінде, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.

V Δ Пифагор теоремасы бойынша KOD OD 2 = KD 2 − OK 2,

OD= = 3. PD = 2OD = 6.

Тікбұрышты үшбұрышта PDB cos ∠PDB = BD / PD = 3√2 / 6 = √2 / 2, сондықтан ∠PDB = 45◦.

Жауабы: 45◦.

Тұрақты төртбұрышты призма неге ұқсайды? және ең жақсы жауап алды

Пиафты өңдеуден жауап[guru]
Призма - көп қырлы, оның екі беті (призма табандары) сәйкес қабырғалары параллель болатын тең көпбұрыштар, ал қалған беттері жазықтықтары түзуге параллель болатын параллелограммдар. AabB, BbcC және т.б. параллелограммдарды бүйір беттер деп атайды; қабырғалары Аа, Вб, Ск т.б бүйір қабырғалар деп аталады. Призманың биіктігі табанының кез келген нүктесінен басқа табан жазықтығына түсірілген кез келген перпендикуляр. Табанында жатқан көпбұрыштың пішініне байланысты призма сәйкесінше: үшбұрышты, төртбұрышты, бесбұрышты, алтыбұрышты және т.б. Призманың бүйір қырлары табан жазықтығына перпендикуляр болса, онда мұндай призма болады. түзу деп аталады; әйтпесе бұл көлбеу призма. Егер дұрыс көпбұрыш түзу призманың табанында жатса, онда мұндай призманы дұрыс деп те атайды.
Тұрақты призма деп табаны дұрыс көпбұрыш, яғни бұл жағдайда шаршы болатын түзу призманы айтады.
Мен түзу призманы салдым, бірақ ол көлбеу де болуы мүмкін

Жауабы Бақытты аяқталу[гуру]
текше

Жауабы 3 жауап[гуру]

Сәлеметсіз бе! Мұнда сіздің сұрағыңызға жауаптары бар тақырыптар таңдауы берілген: Тұрақты төртбұрышты призма қалай көрінеді?