Gyllene snittet. Vad är det gyllene snittet? Vad är principen för det gyllene snittet

Denna harmoni är slående i sin skala...

Hej kompisar!

Har du hört något om Divine Harmony eller Golden Ratio? Har du någonsin tänkt på varför något verkar idealiskt och vackert för oss, men något avvisar oss?

Om inte, så har du framgångsrikt kommit till den här artikeln, för i den kommer vi att diskutera det gyllene snittet, ta reda på vad det är, hur det ser ut i naturen och hos människor. Låt oss prata om dess principer, ta reda på vad Fibonacci-serien är och mycket mer, inklusive konceptet med den gyllene rektangeln och den gyllene spiralen.

Ja, artikeln har många bilder, formler, trots allt är det gyllene snittet också matematik. Men allt beskrivs på ett ganska enkelt språk, tydligt. Och i slutet av artikeln får du reda på varför alla älskar katter så mycket =)

Vad är det gyllene snittet?

Enkelt uttryckt är det gyllene snittet en viss proportionsregel som skapar harmoni?. Det vill säga, om vi inte bryter mot reglerna för dessa proportioner, får vi en mycket harmonisk komposition.

Den mest omfattande definitionen av det gyllene snittet säger att den mindre delen är relaterad till den större, liksom den större delen är relaterad till helheten.

Men förutom detta är det gyllene snittet matematik: det har en specifik formel och ett specifikt tal. Många matematiker betraktar det i allmänhet som formeln för gudomlig harmoni och kallar det "asymmetrisk symmetri".

Det gyllene snittet har nått våra samtida sedan antikens Greklands tid, men det finns en uppfattning om att grekerna själva redan hade spionerat på det gyllene snittet bland egyptierna. Eftersom många konstverk från det antika Egypten är tydligt byggda enligt kanonerna i denna proportion.

Man tror att Pythagoras var den första som introducerade begreppet det gyllene snittet. Euklids verk har överlevt till denna dag (han använde det gyllene snittet för att bygga vanliga femhörningar, varför en sådan femhörning kallas "gyllene"), och numret på det gyllene snittet är uppkallat efter den antika grekiska arkitekten Phidias. Det vill säga, detta är vårt tal "phi" (betecknas med den grekiska bokstaven φ), och det är lika med 1,6180339887498948482... Naturligtvis är detta värde avrundat: φ = 1,618 eller φ = 1,62, och i procent det gyllene snittet ser ut som 62% och 38%.

Vad är unikt med denna andel (och tro mig, den finns)? Låt oss först försöka lista ut det med ett exempel på ett segment. Så vi tar ett segment och delar upp det i ojämna delar på ett sådant sätt att dess mindre del relaterar till den större, eftersom den större delen relaterar till helheten. Jag förstår, det är inte särskilt tydligt än vad som är vad, jag ska försöka illustrera det tydligare med exemplet med segment:

Så vi tar ett segment och delar upp det i två andra, så att det mindre segmentet a relaterar till det större segmentet b, precis som segmentet b relaterar till helheten, det vill säga hela linjen (a + b). Matematiskt ser det ut så här:

Den här regeln fungerar på obestämd tid, du kan dela upp segment så länge du vill. Och se hur enkelt det är. Det viktigaste är att förstå en gång och det är det.

Men låt oss nu titta på ett mer komplext exempel, som förekommer väldigt ofta, eftersom det gyllene snittet också representeras i form av en gyllene rektangel (vars bildförhållande är φ = 1,62). Det här är en mycket intressant rektangel: om vi "klipper av" en kvadrat från den får vi en gyllene rektangel igen. Och så vidare i det oändliga. Ser:

Men matematik skulle inte vara matematik om den inte hade formler. Så vänner, nu kommer det att "göra lite ont". Jag gömde lösningen på det gyllene snittet under en spoiler; det finns många formler, men jag vill inte lämna artikeln utan dem.

Fibonacci-serien och gyllene snittet

Vi fortsätter att skapa och observera matematikens magi och det gyllene snittet. På medeltiden fanns det en sådan kamrat - Fibonacci (eller Fibonacci, de stavar det olika överallt). Han älskade matematik och problem, han hade också ett intressant problem med reproduktion av kaniner =) Men det är inte meningen. Han upptäckte en nummersekvens, siffrorna i den kallas "Fibonacci-tal".

Själva sekvensen ser ut så här:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... och så vidare i det oändliga.

Med andra ord är Fibonacci-sekvensen en talföljd där varje efterföljande tal är lika med summan av de två föregående.

Vad har det gyllene snittet med det att göra? Du ska se nu.

Fibonacci spiral

För att se och känna hela sambandet mellan Fibonaccis talserie och det gyllene snittet behöver du titta på formlerna igen.

Med andra ord, från den nionde termen i Fibonacci-sekvensen börjar vi erhålla värdena för det gyllene snittet. Och om vi visualiserar hela bilden kommer vi att se hur Fibonacci-sekvensen skapar rektanglar närmare och närmare den gyllene rektangeln. Detta är kopplingen.

Låt oss nu prata om Fibonacci-spiralen, den kallas också den "gyllene spiralen".

Den gyllene spiralen är en logaritmisk spiral vars tillväxtkoefficient är φ4, där φ är det gyllene snittet.

I allmänhet, från en matematisk synvinkel, är det gyllene snittet en idealisk proportion. Men detta är bara början på hennes mirakel. Nästan hela världen är föremål för principerna för det gyllene snittet, naturen skapade själv denna proportion. Även esoteriker ser numerisk kraft i det. Men vi kommer definitivt inte att prata om detta i den här artikeln, så för att inte missa något kan du prenumerera på webbplatsuppdateringar.

Gyllene snittet i naturen, människan, konsten

Innan vi börjar vill jag förtydliga ett antal felaktigheter. För det första är själva definitionen av det gyllene snittet i detta sammanhang inte helt korrekt. Faktum är att själva begreppet "sektion" är en geometrisk term, som alltid betecknar ett plan, men inte en sekvens av Fibonacci-tal.

Och för det andra har talserien och förhållandet mellan den ena och den andra förstås förvandlats till en sorts stencil som kan appliceras på allt som verkar misstänkt, och man kan vara väldigt glad när det finns tillfälligheter, men ändå , sunt förnuft bör inte gå förlorat.

Men "allt blandades ihop i vårt rike" och det ena blev synonymt med det andra. Så i allmänhet går inte innebörden förlorad av detta. Låt oss nu börja.

Du kommer att bli förvånad, men det gyllene snittet, eller snarare proportionerna så nära det som möjligt, kan ses nästan överallt, även i spegeln. Tro mig inte? Låt oss börja med detta.

Du vet, när jag lärde mig att rita, förklarade de för oss hur lättare det är att bygga en persons ansikte, hans kropp och så vidare. Allt måste beräknas i förhållande till något annat.

Allt, absolut allt är proportionellt: ben, våra fingrar, handflator, avstånd i ansiktet, avståndet för utsträckta armar i förhållande till kroppen, och så vidare. Men även detta är inte allt, den inre strukturen i vår kropp, även denna, är lika med eller nästan lika med formeln med det gyllene snittet. Här är avstånden och proportionerna:

från axlar till krona till huvudstorlek = 1:1,618

från naveln till kronan till segmentet från axlarna till kronan = 1:1.618

från navel till knän och från knän till fötter = 1:1,618

från hakan till den yttersta punkten av överläppen och från den till näsan = 1:1.618

Är inte detta fantastiskt!? Harmoni i sin renaste form, både inne och ute. Och det är därför, på någon undermedveten nivå, vissa människor inte verkar vackra för oss, även om de har en stark, tonad kropp, sammetslen hud, vackert hår, ögon etc. och allt annat. Men ändå, den minsta kränkningen av kroppens proportioner, och utseendet "gör redan något ont i ögonen".

Kort sagt, ju vackrare en person verkar för oss, desto närmare är hans proportioner idealiska. Och detta kan förresten inte bara tillskrivas människokroppen.

Gyllene snittet i naturen och dess fenomen

Ett klassiskt exempel på det gyllene snittet i naturen är skalet på blötdjuret Nautilus pompilius och ammoniten. Men detta är inte allt, det finns många fler exempel:

i det mänskliga örats lockar kan vi se en gyllene spiral;

dess samma (eller nära den) i spiralerna längs vilka galaxer vrider sig;

och i DNA-molekylen;

Enligt Fibonacci-serien är mitten av en solros ordnad, kottar växer, mitten av blommor, en ananas och många andra frukter.

Vänner, det finns så många exempel att jag bara lämnar videon här (den är precis nedan) för att inte överbelasta artikeln med text. För om du gräver i det här ämnet kan du gå djupare in i följande djungel: till och med de gamla grekerna bevisade att universum och i allmänhet allt utrymme är planerat enligt principen om det gyllene snittet.

Du kommer att bli förvånad, men dessa regler kan hittas även i ljud. Ser:

Den högsta ljudpunkten som orsakar smärta och obehag i våra öron är 130 decibel.

Vi dividerar proportionen 130 med det gyllene snittet talet φ = 1,62 och vi får 80 decibel - ljudet av ett mänskligt skrik.

Vi fortsätter att dividera proportionellt och får, låt oss säga, den normala volymen av mänskligt tal: 80 / φ = 50 decibel.

Tja, det sista ljudet som vi får tack vare formeln är ett behagligt viskande ljud = 2,618.

Med hjälp av denna princip är det möjligt att bestämma det optimala-bekväma, lägsta och maximala antalet temperatur, tryck och luftfuktighet. Jag har inte testat det, och jag vet inte hur sann den här teorin är, men du måste hålla med, det låter imponerande.

Man kan läsa den högsta skönheten och harmonin i absolut allt levande och icke-levande.

Huvudsaken är att inte ryckas med detta, för om vi vill se något i något så kommer vi att se det, även om det inte finns där. Till exempel, jag uppmärksammade designen av PS4 och såg det gyllene snittet där =) Den här konsolen är dock så cool att jag inte skulle bli förvånad om designern verkligen gjorde något smart där.

Gyllene snittet i konst

Detta är också ett mycket stort och omfattande ämne som är värt att överväga separat. Här kommer jag bara att notera några grundläggande punkter. Det mest anmärkningsvärda är att många konstverk och arkitektoniska mästerverk från antiken (och inte bara) gjordes enligt principerna för det gyllene snittet.

Egyptiska och Maya-pyramider, Notre Dame de Paris, grekiska Parthenon och så vidare.

I musikaliska verk av Mozart, Chopin, Schubert, Bach och andra.

I målning (detta är tydligt): alla de mest kända målningarna av kända konstnärer görs med hänsyn till reglerna för det gyllene snittet.

Dessa principer finns i Pushkins dikter och i bysten av den vackra Nefertiti.

Redan nu används reglerna för det gyllene snittet till exempel inom fotografering. Jo, och naturligtvis i alla andra konster, inklusive film och design.

Gyllene Fibonacci-katter

Och slutligen, om katter! Har du någonsin undrat varför alla älskar katter så mycket? De har tagit över internet! Katter finns överallt och det är underbart =)

Och hela poängen är att katter är perfekta! Tro mig inte? Nu ska jag bevisa det för dig matematiskt!

Ser du? Hemligheten avslöjas! Katter är idealiska ur matematikens, naturens och universums synvinkel =)

*Jag skämtar såklart. Nej, katter är verkligen idealiska) Men ingen har nog mätt dem matematiskt.

Det är i princip det, vänner! Vi ses i nästa artiklar. Lycka till!

P.S. Bilder tagna från medium.com.

Uppsatsen gjordes av en elev i 8:e klass vid kommunala utbildningsinstitution Gymnasium nr 9 Veronica Vyushina

Jekaterinburg

1. Introduktion. Gyllene snitt proportion. F och φ.

"Geometri har två stora skatter. Den första är Pythagoras sats, den andra är uppdelningen av ett segment i extrema och genomsnittliga förhållanden"

Johannes Kepler

Regelbundna polygoner väckte uppmärksamhet hos antika grekiska forskare långt före Arkimedes. Pytagoreerna, som valde ett pentagram - en femuddig stjärna - som emblem för sin förening, lade stor vikt vid problemet med att dela en cirkel i lika delar, det vill säga att konstruera en vanlig inskriven polygon. Albrecht Durer (1471-1527), som blev personifieringen av renässansen i Tyskland, tillhandahåller en teoretiskt korrekt metod för att konstruera en vanlig pentagon, lånad från Ptolemaios stora verk "Almagest".

Dürers intresse för att konstruera regelbundna polygoner speglar deras användning under medeltiden i arabiska och gotiska mönster, och efter uppfinningen av skjutvapen vid planering av fästningar.

Medeltida metoder för att konstruera vanliga polygoner var ungefärliga, men var (eller kunde inte låta bli att vara) enkla: konstruktionsmetoder gavs företräde som inte ens krävde att kompassens öppning ändrades. Leonardo da Vinci skrev också mycket om polygoner, men det var Dürer, inte Leonardo, som vidarebefordrade medeltida konstruktionsmetoder till sina ättlingar. Dürer var naturligtvis bekant med Euklids "Element", men presenterade inte i sin "Manual to Measurement" (om konstruktioner med kompasser och linjaler) den metod som Euklids föreslagit för att konstruera en vanlig femhörning, som var teoretiskt korrekt, som alla andra Euklidiska konstruktioner. Euklid försöker inte dela en given cirkelbåge i tre lika delar, och Dürer visste, även om beviset inte hittades förrän på 1800-talet, att detta problem var olösligt.

Konstruktionen av en vanlig femhörning som föreslagits av Euklid inkluderar uppdelningen av ett rakt linjesegment i medel- och extremförhållandet, som senare kallades det gyllene snittet och lockade konstnärers och arkitekters uppmärksamhet i flera århundraden.

Punkt B delar segmentet ABE i medel- och extremförhållandet eller bildar det gyllene snittet om förhållandet mellan den större delen av segmentet och det mindre är lika med förhållandet mellan hela segmentet och den större delen.

Det gyllene snittet skrivet i form av kvotens likhet har formen

AB/BE= AB/AE

Om vi ​​sätter AB=a, och BE=a/F så att det gyllene snittet är lika med AB/BE=F, får vi förhållandet

Det vill säga, Ф uppfyller ekvationen

Denna ekvation har en positiv rot

Ф=(√5+1)/2=1,618034….

Observera att 1/Ф = (√5 -1)/2, eftersom (√5-1)(√5+1) =5-1=4. 1/F anses vara φ=0,618034….

Ф och φ är versaler och gemener av den grekiska bokstaven "phi".

Denna beteckning antogs för att hedra den antika grekiska skulptören Phidias (400-talet f.Kr.) Phidias övervakade byggandet av Parthenontemplet i Aten. Siffran φ förekommer upprepade gånger i proportionerna av detta tempel.

2. Historien om det gyllene snittet

Det är allmänt accepterat att konceptet med den gyllene divisionen introducerades i vetenskapligt bruk av Pythagoras, en antik grekisk filosof och matematiker (VI-talet f.Kr.). Det finns ett antagande att Pythagoras lånade sin kunskap om den gyllene uppdelningen från egyptierna och babylonierna. Faktum är att proportionerna av Cheops-pyramiden, tempel, basreliefer, hushållsartiklar och smycken från Tutankhamons grav indikerar att egyptiska hantverkare använde förhållandena för den gyllene divisionen när de skapade dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fann att i reliefen från farao Seti I:s tempel i Abydos och i reliefen som föreställer farao Ramesses motsvarar figurernas proportioner värdena för den gyllene divisionen. Arkitekten Khesira, avbildad på en relief av en träskiva från en grav uppkallad efter honom, håller i sina händer mätinstrument där proportionerna av den gyllene indelningen är registrerade.

Grekerna var skickliga geometrar. De lärde till och med ut aritmetik för sina barn med hjälp av geometriska figurer. Pythagoras kvadrat och diagonalen av denna kvadrat var grunden för konstruktionen av dynamiska rektanglar.

Platon (427...347 f.Kr.) kände också till den gyllene divisionen. Hans dialog "Timaeus" ägnas åt de matematiska och estetiska synpunkterna på den pythagorasiska skolan och i synnerhet frågorna om den gyllene divisionen.

Parthenon har 8 kolumner på kortsidorna och 17 på långsidorna. Förhållandet mellan byggnadens höjd och dess längd är 0,618. Om vi ​​delar upp Parthenon enligt det "gyllene snittet", kommer vi att få vissa utsprång på fasaden. Under dess utgrävningar upptäcktes kompasser som användes av arkitekter och skulptörer från den antika världen. Den pompeianska kompassen (museet i Neapel) innehåller också proportionerna för den gyllene indelningen.

I den antika litteraturen som har kommit ner till oss nämndes den gyllene divisionen först i Euklids element. I den andra boken av Elementen ges en geometrisk konstruktion av den gyllene indelningen. Efter Euclid, Hypsicles (2:a århundradet f.Kr.), Pappus (3:e århundradet e.Kr.) och andra studerade den gyllene indelningen. I det medeltida Europa blev de bekanta med den gyllene indelningen från arabiska översättningar av Euklids element. Översättaren J. Campano från Navarra (300-talet) kommenterade översättningen. Den gyllene divisionens hemligheter bevakades svartsjukt och hölls i strikt hemlighet. De var kända endast för invigda.

Under renässansen ökade intresset för den gyllene indelningen bland vetenskapsmän och konstnärer på grund av dess användning inom både geometri och konst, särskilt inom arkitektur. Leonardo da Vinci, en konstnär och vetenskapsman, såg att italienska konstnärer hade mycket empirisk erfarenhet men en brist på kunskap. Han blev gravid och började skriva en bok om geometri, men vid den tiden dök en bok av munken Luca Pacioli upp, och Leonardo övergav sin idé. Enligt samtida och vetenskapshistoriker var Luca Pacioli en riktig luminary, den största matematikern i Italien under perioden mellan Fibonacci och Galileo.

Luca Pacioli förstod perfekt vetenskapens betydelse för konsten. År 1496, på inbjudan av hertigen av Moreau, kom han till Milano, där han föreläste om matematik. Leonardo da Vinci arbetade också i Milano vid hovet i Moro vid den tiden. 1509 publicerades Luca Paciolis bok "Den gudomliga proportionen" i Venedig med briljant utförda illustrationer, varför man tror att de är gjorda av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk hymn till det gyllene snittet. Bland de många fördelarna med den gyllene proportionen misslyckades inte munken Luca Pacioli att namnge dess "gudomliga väsen" som ett uttryck för den gudomliga treenigheten: Gud sonen, Gud fadern och Gud den helige anden (det antyddes att den lilla segmentet är personifieringen av Gud sonen, det större segmentet är faderns gud och hela segmentet - den Helige Andes Gud).

Leonardo da Vinci ägnade också stor uppmärksamhet åt studiet av den gyllene divisionen. Han gjorde sektioner av en stereometrisk kropp bildad av regelbundna femhörningar, och varje gång fick han rektanglar med sidförhållande i den gyllene divisionen. Därför gav han denna uppdelning namnet gyllene snittet. Så den är fortfarande den mest populära.

Samtidigt, i norra Europa, i Tyskland, arbetade Albrecht Dürer med samma problem. Han skisserar inledningen till den första versionen av avhandlingen om proportioner. Dürer skriver: "Det är nödvändigt att någon som vet hur man gör något ska lära ut det till andra som behöver det. Det här är vad jag tänkte göra."

Att döma av ett av Dürers brev träffade han Luca Pacioli när han var i Italien. Albrecht Durer utvecklar i detalj teorin om den mänskliga kroppens proportioner. Dürer tilldelade det gyllene snittet en viktig plats i sitt system av relationer. En persons höjd är uppdelad i gyllene proportioner av bältets linje, såväl som av en linje som dras genom spetsarna på långfingrarna på de sänkta händerna, den nedre delen av ansiktet genom munnen, etc. Dürers proportionella kompass är välkänd.

Geometri har två skatter: en av dem är Pythagoras sats, och den andra är uppdelningen av ett segment i medelvärdet och det extrema förhållandet. Den första kan jämföras med ett mått av guld; den andra ser mer ut som en ädelsten.

I. Kepler

Visste du att när vi går till skolan eller jobbet, lyssnar på musik, gör hushållsarbete, kopplar av på semestern till sjöss eller skriver på affärskontrakt, stöter vi ständigt på exempel på det gyllene snittet. Växter, djur, fat och till och med vissa bokstäver är byggda enligt principen om det gyllene snittet. Det gyllene snittet har till och med hittats i DNA-molekylen.

Jag skulle vilja presentera dig närmare detta otroliga, enligt min mening, fenomen och berätta specifikt var och hur vi möter det och hur vi använder det.

Det är allmänt accepterat att konceptet med den gyllene divisionen introducerades i vetenskapligt bruk av Pythagoras, en antik grekisk filosof och matematiker (VI-talet f.Kr.). Det finns ett antagande att Pythagoras lånade sin kunskap om den gyllene uppdelningen från egyptierna och babylonierna. Faktum är att proportionerna av Cheops-pyramiden, tempel, basreliefer, hushållsartiklar och smycken från Tutankhamons grav indikerar att egyptiska hantverkare använde förhållandena för den gyllene divisionen när de skapade dem. Den franska arkitekten Le Corbusier fann att i reliefen från farao Seti I:s tempel i Abydos och i reliefen som föreställer farao Ramses motsvarar figurernas proportioner värdena för den gyllene divisionen. Arkitekten Khesira, avbildad på en relief av en träskiva från en grav uppkallad efter honom, håller i sina händer mätinstrument där proportionerna av den gyllene indelningen är registrerade. Grekerna var skickliga geometrar. De lärde till och med ut aritmetik för sina barn med hjälp av geometriska figurer. Pythagoras kvadrat och diagonalen av denna kvadrat var grunden för konstruktionen av dynamiska rektanglar.

Vad är det gyllene snittet, tillämpning av det gyllene snittet i matematik.

Det gyllene snittet är en sådan proportionell uppdelning av ett segment i ojämna delar, där hela segmentet är relaterat till den större delen som den större delen själv är relaterad till den mindre; eller med andra ord, det mindre segmentet är till det större som det större är för helheten a: b = b: c eller c: b = b: a.

Denna andel kan konstrueras enligt följande:

Från punkt B återställer vi en vinkelrät lika med halva AB. Den resulterande punkten C är ansluten med en linje till punkt A. På den resulterande linjen lägger vi av ett segment BC som slutar på punkt D. Segmentet AD överförs till linjen AB. Den resulterande punkten E delar segmentet AB i den gyllene proportionen.

Egenskaperna för det gyllene snittet beskrivs av ekvationen: x*x – x – 1 = 0.

Lösning på denna ekvation:

I naturen upptäcktes också ett andra gyllene snitt, som följer av huvuddelen och ger ytterligare ett förhållande på 44:56. Denna andel har upptäckts inom arkitekturen och förekommer även när man konstruerar kompositioner av bilder av ett långsträckt horisontellt format.

Vi delar detta segment AB i proportionen av det gyllene snittet. Från punkt C återställer vi den vinkelräta CD:n. Med hjälp av radien AB hittar vi punkt D, anslut den sedan med en linje till punkt A. Dela den räta vinkeln ACD på mitten. Från punkt C drar vi en linje till skärningspunkten med AD. Låt oss kalla den resulterande punkten bokstaven E, som delar segmentet AD i förhållandet 44:56.

Figuren visar positionen för linjen för det andra gyllene snittet. Den är belägen halvvägs mellan linjen med gyllene snittet och rektangelns mittlinje.

Om kvadraten AEFD är isolerad från den gyllene rektangeln ABCD, så visar sig den återstående delen EBCF vara en ny gyllene rektangel, som återigen kan delas in i kvadraten GHCF och den mindre gyllene rektangeln EBHG. Genom att upprepa denna procedur många gånger får vi en oändlig sekvens av kvadrater och gyllene rektanglar, som slutligen konvergerar till punkt O. Observera att en sådan oändlig upprepning av samma geometriska figurer, det vill säga en kvadrat och en gyllene rektangel, ger oss en omedveten estetisk känsla av rytm och harmoni. Man tror att just denna omständighet är anledningen till att många rektangulärt formade föremål som en person hanterar (tändsticksaskar, tändare, böcker, resväskor) ofta har formen av en gyllene rektangel. Vi använder till exempel kreditkort flitigt i vårt dagliga liv, men vi uppmärksammar inte att kreditkort i många fall är formade som en gyllene rektangel.

Gyllene rektangel och kreditkort

Pentagram och Pentagon

Om vi ​​ritar alla diagonalerna i pentagrammet blir resultatet den välkända femkantiga stjärnan. Det har bevisats att skärningspunkterna för diagonaler i ett pentagram alltid är punkter för diagonalernas gyllene snitt. I detta fall bildar dessa punkter ett nytt pentagram FGHKL. I ett nytt pentagram kan diagonaler ritas, vars skärningspunkt bildar ett annat pentagram, och denna process kan fortsätta på obestämd tid. Pentagrammet ABCDE verkar alltså bestå av ett oändligt antal pentagram, som varje gång bildas av diagonalernas skärningspunkter. Denna ändlösa upprepning av samma geometriska figur skapar en känsla av rytm och harmoni som omedvetet registreras av våra sinnen. Pentagrammet beundrades särskilt av pytagoreerna och ansågs vara deras främsta identifikationsmärke. Den amerikanska militäravdelningens byggnad är formad som ett pentagram och kallas "Pentagon", vilket betyder en vanlig femhörning.

Så jag berättade för er vad det gyllene snittet är, och nu, eftersom mitt betänkande ägnas åt tillämpningen av det gyllene snittet, ska jag nu prata om det.

Kaninproblemet. Fibonacci-siffror.

KANINPROBLEMET

Någon placerade ett par kaniner på en viss plats, inhägnad på alla sidor av en mur, för att ta reda på hur många par kaniner som skulle födas under året, om kaninernas natur är sådan att efter en månad ger ett kaninpar föder ett annat par, och kaniner föder från den andra månaden efter hans födelse.

Det är klart att om vi anser att det första kaninparet är nyfödda, så kommer vi under den andra månaden fortfarande att ha ett par; för den tredje månaden - 1+1=2; den fjärde månaden - 2 + 1 = 3 par (på grund av de två befintliga paren producerar endast ett par avkomma); den 5:e månaden - 3+2=5 par (endast 2 par födda den 3:e månaden kommer att föda avkomma den 5:e månaden); den 6:e månaden - 5 + 3 = 8 par (eftersom endast de par födda i den 4:e månaden kommer att producera avkomma), etc.

Från detta problem följde upptäckten av en viss serie av naturliga tal, av vilka varje medlem, från och med den tredje, är lika med summan av de två föregående medlemmarna: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. ,Denna sekvens kallas Fibonacci-sekvensen, och dess medlemmar kallas Fibonacci-tal. Förhållandet mellan nästa medlem i serien och den föregående tenderar till det gyllene snittet

I algebra betecknas det vanligtvis med den grekiska bokstaven phi.

Det gyllene snittet har inte heller gått förbi människan.

Det gyllene snittet är grunden för att konstruera harmoniska former, eftersom det är den absoluta lagen för formbildning i naturen, som vi är en del av. Harmoniens lagar är numeriska lagar.

När vi modellerar en vanlig människa tar vi troligen inte en linjal och en miniräknare för att beräkna de gyllene proportionerna. Vi känner helt enkelt intuitivt dessa former, eftersom en människas former möter våra ögon oftare än något annat, men när vi skapar en modell av en ovanlig varelse, växt, struktur, bör vi använda kunskap om geometri och det gyllene snittet så att resultatet av arbetet kan betraktas utan avsky, även om det är känslan av avsky som du söker, då vet du vad du måste göra.

Hur som helst, kunskap om naturlagarna (numeriska lagar) hjälper oss att uppnå önskat resultat så snabbt som möjligt.

Den tyske professorn Zeising gjorde ett bra jobb i mitten av 1700-talet: han mätte mer än 2000 kroppar och föreslog att det gyllene snittet uttrycker den genomsnittliga statistiska lagen: att dividera en kropp med navelspetsen är en av huvudindikatorerna för det gyllene snittet . Proportionerna av den manliga kroppen fluktuerar inom det genomsnittliga förhållandet 13: 8 = 1,625 och är något närmare det gyllene snittet än proportionerna av den kvinnliga kroppen, i förhållande till vilket medelvärdet av andelen uttrycks i förhållandet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfödd är andelen 1:1, vid 13 års ålder är den 1,6 och vid 21 års ålder är den lika med en mans. Proportionerna av det gyllene snittet visas också i förhållande till andra delar av kroppen - längden på axeln, underarmen och handen, handen och fingrar, etc.

hos små barn (cirka ett år gamla) är andelen 1:1.

Nyligen skapade vår samtida, amerikanske kirurg Stephen Marquart, med hjälp av principen om det "gyllene snittet", en geometrisk mask som kan fungera som standard för ett vackert ansikte. För att ta reda på om ett ansikte matchar det perfekta, kopiera bara masken på genomskinlig film och överlägg den på ett fotografi av lämplig storlek.

Så, om vi delar segmentet mellan kronan och adamsäpplet i förhållande till det "gyllene snittet", får vi en punkt som ligger på ögonbrynslinjen (B). Med ytterligare gyllene delning av de resulterande delarna får vi sekventiellt nässpetsen (C), änden av hakan (D).

Gyllene snittet i det mänskliga örat.

I det mänskliga inre örat finns ett organ som kallas Cochlea ("Snigel"), som utför funktionen att överföra ljudvibrationer. Denna benstruktur är fylld med vätska och är också formad som en snigel, som innehåller en stabil logaritmisk spiralform = 73º 43'.

Eftersom det gyllene snittet har berört en person, kommer jag att säga att det finns även i DNA-molekylens struktur.

All information om levande varelsers fysiologiska egenskaper lagras i en mikroskopisk DNA-molekyl, vars struktur också innehåller lagen om den gyllene proportionen. DNA-molekylen består av två vertikalt sammanflätade helixar. Längden på var och en av dessa spiraler är 34 ångström och bredden är 21 ångström. (1 ångström är en hundra miljondels centimeter). Så 21 och 34 är siffror som följer varandra i sekvensen av Fibonacci-tal, det vill säga förhållandet mellan längden och bredden på den logaritmiska spiralen av DNA-molekylen bär formeln för det gyllene snittet 1:1,618.

Var och en av oss, åtminstone en gång i livet, har varit till havet och haft ett spiralformat skal i händerna. Tja, här är det: ett sådant skal är vridet i en spiral. Om du viker ut den får du en längd något kortare än längden på ormen. Ett litet skal på tio centimeter har en spiral 35 cm lång.Spiraler är mycket vanliga i naturen. Idén om det gyllene snittet kommer att vara ofullständig utan att prata om spiralen.

Arkimedes spiral

Formen på det spiralformade skalet lockade Arkimedes uppmärksamhet. Han studerade det och kom på en ekvation för spiralen. Spiralen som ritas enligt denna ekvation kallas vid hans namn. Ökningen av hennes steg är alltid enhetlig. För närvarande används Arkimedes-spiralen flitigt inom teknik.

Gyllene snittet inom måleri och fotografi.

I fotografi

När vi vill ta ett vackert foto märker vi ofta att vi inte vet hur man mentalt ska ordna föremål så att de senare ser som bäst ut på det färdiga fotografiet. Regeln med det gyllene snittet kan hjälpa oss med detta. Med hjälp av horisontella och vertikala linjer delar vi upp sökaren mentalt i nio identiska sektorer. De fyra centrala skärningspunkterna för horisontella och vertikala linjer kommer att vara nyckeln för oss.

Praktisk användning av regeln Golden Ratio när du komponerar en ram.

Nedan finns olika alternativ för rutnät skapade på basis av regeln "Zloty-sektion", för olika sammansättningsalternativ. För att förstå principerna måste du experimentera på egen hand, försöka kombinera rutnäten med dina fotografier. Basic mesh ser ut så här:

Här är ett foto på en katt, som är placerad på en slumpmässig plats i ramen.

Låt oss nu villkorligt dela upp ramen i segment, i proportionen 1,62 totala längder från varje sida av ramen. I skärningspunkten mellan segmenten kommer det att finnas de viktigaste "visuella centren" där det är värt att placera de nödvändiga nyckelelementen i bilden.

Låt oss flytta vår katt till punkterna för "visuella centra".

Så här ser kompositionen ut nu. Är det inte mycket bättre?

För att förstå essensen av det gyllene snittet, försök att ta några bilder själv av en person som sitter på en trädgårdsbänk. Se till att det mest harmoniska fotot kommer att vara ett där personen inte sitter i mitten eller på kanten, utan på en punkt som motsvarar det gyllene snittet (dela upp bänken i ett förhållande på ungefär 2:3).

I målning

Det antika Greklands mästare, som visste hur man medvetet använde den gyllene proportionen, som i huvudsak är mycket enkel, tillämpade skickligt sina harmoniska värden i alla typer av konst och uppnådde sådan perfektion i strukturen av former som uttrycker deras sociala ideal , som sällan finns i utövandet av världskonst. Hela den antika kulturen passerade under den gyllene proportionens tecken. De kände till denna andel i det antika Egypten. Jag kommer att visa detta med hjälp av exemplet på sådana målare som: Raphael, Leonardo da Vinci, Botticelli, Shishkin.

I Rafaels förberedande skiss ritas röda linjer från kompositionens semantiska centrum - punkten där krigarens fingrar stängdes runt barnets fotled - längs figurerna av barnet, kvinnan som håller honom nära, krigaren med svärdet upphöjt, och sedan längs figurerna i samma grupp på den högra skissen. Om du naturligt kopplar ihop dessa bitar med en böjd prickad linje, då får du mycket exakta resultat. gyllene spiral! Detta kan kontrolleras genom att mäta förhållandet mellan längderna på segmenten som skärs av en spiral på raka linjer som går genom början av kurvan. "De oskyldigas massaker" Raphael

I den berömda fresken "The School of Athens", där det i vetenskapens tempel finns ett samhälle av antikens stora filosofer, dras vår uppmärksamhet till gruppen Euclid, den största antika grekiska matematikern, som analyserar en komplex teckning. Den geniala kombinationen av två trianglar är också konstruerad i enlighet med proportionen av det gyllene snittet: den kan skrivas in i en rektangel med bildförhållandet 5/8. Denna ritning är förvånansvärt lätt att infoga i den övre delen av arkitekturen. Det övre hörnet av triangeln vilar på bågens slutsten i området närmast betraktaren, det nedre hörnet berör perspektivens försvinnande punkt, och sidosektionen indikerar proportionerna av det rumsliga gapet mellan de två delarna av bågarna. .

Leonardo Da Vinci

Porträttet av Mona Lisa (La Gioconda) av Leonardo da Vinci är attraktivt eftersom kompositionen av bilden är byggd på "gyllene trianglar", närmare bestämt på trianglar som är delar av en vanlig stjärnformad femhörning.

"The Last Supper" är Leonardos mest mogna och kompletta verk. I denna målning undviker mästaren allt som skulle kunna skymma huvudförloppet av handlingen han skildrar, han uppnår en sällsynt övertygande av den kompositionella lösningen. I mitten placerar han Kristi gestalt och framhäver den med dörröppningen. Han flyttar medvetet apostlarna bort från Kristus för att ytterligare betona sin plats i kompositionen. Slutligen, i samma syfte, tvingar han alla perspektivlinjer att konvergera vid en punkt direkt ovanför Kristi huvud. Leonardo delar in sina elever i fyra symmetriska grupper, fulla av liv och rörelse. Han gör bordet litet, och matsalen - strikt och enkelt. Detta ger honom möjlighet att fokusera tittarens uppmärksamhet på figurer med enorm plastkraft. Alla dessa tekniker återspeglar den kreativa planens djupa målmedvetenhet, där allt vägs och beaktas. "

Botticelli - "Venus födelse"

Målningen skildrar inte själva gudinnans födelse, utan ögonblicket som följde, då hon, driven av andan från luftens genier, når stranden, där hon möts av en av nådena. Enligt den antika grekiska poeten Hesiod (Theogony, 188-200) föddes Venus från havet - från skummet som producerats av könsorganen hos kastrerade Uranus (SATURN), kastat i vattnet av Cronus. Hon flyter till stranden i ett öppet skal, driven av en mjuk bris, och landar slutligen i Paphos (Cypern) - en av de viktigaste platserna för vördnad och kult under antiken. Hennes grekiska namn Aphrodite kan komma från aphros, som betyder "skum".

Nära ön Cythera föddes Afrodite, dotter till Uranus, från havsvågornas snövita skum. En lätt, smekande bris förde henne till ön Cypern. Där omringade den unge Oras kärleksgudinnan som dök upp ur havets vågor. De klädde henne i guldvävda kläder och krönte henne med en krans av doftande blommor. Varhelst Afrodite klev, växte blommor magnifikt. Hela luften var full av doft. Eros och Himerot ledde den underbara gudinnan till Olympen. Gudarna hälsade henne högt. Sedan dess har gyllene Afrodite, evigt ung, den vackraste av gudinnor, alltid levt bland Olympens gudar.

I denna berömda målning av I. I. Shishkin är motiven för det gyllene snittet tydligt synliga. En starkt solbelyst tall (som står i förgrunden) delar upp bildens längd enligt det gyllene snittet. Till höger om tallen finns en solbelyst kulle. Den delar upp den högra sidan av bilden horisontellt enligt det gyllene snittet. Till vänster om den huvudsakliga tallen finns det många tallar - om du vill kan du framgångsrikt fortsätta dela upp bilden efter det gyllene snittet ytterligare.

Närvaron i bilden av ljusa vertikaler och horisonter, som delar den i förhållande till det gyllene snittet, ger den en karaktär av balans och lugn, i enlighet med konstnärens avsikt. När konstnärens avsikt är annorlunda, om han till exempel skapar en bild med snabbt utvecklande handling, blir ett sådant geometriskt kompositionsschema (med en övervägande av vertikaler och horisonter) oacceptabelt.

Gyllene snittet i arkitektur

Arkitektur är vårt medvetandes förmåga att befästa känslan av en era i materiella former. Le Corbusier

Ett av de vackraste verken av antik grekisk arkitektur är Parthenon (500-talet f.Kr.).

Figuren visar ett antal mönster förknippade med det gyllene snittet.

På planritningen av Parthenon kan du också se de "gyllene rektanglarna":

I proportionerna av Notre Dame-katedralens byggnad i Paris ser vi också den gyllene proportionen.

M. Kazakov använde det "gyllene snittet" ganska brett i sitt arbete.

Hans talang var mångfacetterad, men den avslöjades i större utsträckning i de många genomförda projekten av bostadshus och gods. Till exempel kan "det gyllene snittet" hittas i arkitekturen i senatsbyggnaden i Kreml.

Många forntida skulptörer använde regeln om den gyllene proportionen när de konstruerade sina verk.

Tänk på detta med exemplet med statyn av Apollo Belvedere: navellinjen delar höjden på den avbildade personen i förhållande till det gyllene snittet.

Och några fler exempel för att bevisa att vi observerar det gyllene snittet i skulptur.

Doryphorus av Polykleitos och hans harmoniska analys

Venus de Milo och dess harmoniska analys

Michelangelos David

6. Gyllene snittet i levande natur

Allt i världen är kopplat till en enda början:

I vågornas rörelse - en Shakespearesk sonett,

I symmetrin av en blomma finns universums grunder,

Och i fågelsången finns en symfoni av planeter.

Den levande naturen i sin utveckling strävade efter den mest harmoniska organisationen, vars kriterium är den gyllene proportionen, som manifesterar sig på en mängd olika nivåer - från atomkombinationer till strukturen hos högre djurs kroppar.

Blommor och frön av solrosor, kamomill, fjäll i ananasfrukter, barrkottar "packas" i logaritmiska spiraler, krullar mot varandra. Dessutom relaterar siffrorna för "höger" och "vänster" spiraler alltid till varandra, som närliggande Fibonacci-tal.

I formlerna för bladarrangemang (phyllotaxis) för många växter finns Fibonacci-nummer ordnade strikt regelbundet - genom en, till exempel hassel -1/3, ek, körsbär - 2/5, havtorn -5/13

Överväg ett cikoriaskott. Ett skott har bildats från huvudstammen. Det första bladet låg precis där. Skottet gör ett kraftigt utkast i rymden, stannar, släpper ett löv, men den här gången är det kortare än det första, gör återigen ett utkast i rymden, men med mindre kraft, släpper ett löv av en ännu mindre storlek och kastas ut igen .

Om det första utsläppet tas som 100 enheter, är det andra lika med 62 enheter, det tredje - 38, det fjärde - 24, etc. Längden på kronbladen är också föremål för den gyllene proportionen. I att växa och erövra rymden behöll växten vissa proportioner. Impulserna av dess tillväxt minskade gradvis i proportion till det gyllene snittet.

Många fjärilar och andra insekter har inte undvikit kollisioner med detta anmärkningsvärda, enligt mig, fenomen med det gyllene snittet. Förhållandet mellan storlekarna på bröst- och bukdelarna av kroppen motsvarar den gyllene proportionen. När den viker sina vingar, bildar malen en regelbunden liksidig triangel. Men så fort hon breder ut sina vingar kommer du att se samma princip att dela kroppen med 2,3,5,8. Sländan skapas också enligt lagarna för den gyllene proportionen: förhållandet mellan längderna på svansen och kroppen är lika med förhållandet mellan den totala längden och längden på svansen.

Snöflingor är vattenkristaller som är synliga för vårt blotta öga. De är otroligt vackra och olika i form, men alla deras komponenter är geometriska former, och också, utan undantag, byggda på principen om den gyllene proportionen.

Det gyllene snittet har till och med påverkat poesin och musiken.

I poesi

I strukturen av varje dikt kan vi inte låta bli att lägga märke till vissa mönster, och följaktligen finns det den gyllene proportionen och Fibonacci-talen. Varannan dikt av A. S. Pushkin innehåller ett exempel (mönster) på det gyllene snittet. Och ett prov (mönster) av spegelsymmetri finns i var tredje. Ett av de två mönstren finns i två av tre dikter (524 eller 66 %), och båda mönstren finns i var femte dikt (150 eller 19 %).

Huvudfunktionerna för det gyllene snittet i Pushkins verk är:

}