Золотий перетин. Що таке золотий перетин? Який принцип золотого перерізу

Ця гармонія вражає своїми масштабами.

Привіт, друзі!

Ви щось чули про Божественну гармонію чи Золотий перетин? Чи замислювалися про те, чому нам щось здається ідеальним та красивим, а щось відштовхує?

Якщо ні, то ви вдало потрапили на цю статтю, тому що в ній ми обговоримо золотий перетин, дізнаємося, що це таке, як воно виглядає в природі та людині. Поговоримо про його принципи, дізнаємося що таке ряд Фібоначчі та багато іншого, включаючи поняття золотий прямокутник і золота спіраль.

Так, у статті багато зображень, формул, як-не-як, золотий перетин - це ще й математика. Але все описано досить простою мовою, наочно. А ще, наприкінці статті, ви дізнаєтесь, чому всі так люблять котиків.

Що таке золотий перетин?

Якщо по-простому, то золотий перетин – це певне правило пропорції, яке створює гармонію? Тобто якщо ми не порушуємо правила цих пропорцій, то у нас виходить дуже гармонійна композиція.

Найбільш ємне визначення золотого перерізу говорить, що менша частина відноситься до більшої, як більша до всього цілого.

Але, крім цього, золотий перетин - це математика: він має конкретну формулу і конкретне число. Багато математиків взагалі вважають його формулою божественної гармонії і називають «асиметричною симетрією».

До наших сучасників золотий перетин сягнув часів Стародавню Грецію, проте, існує думка, що самі греки вже підглянули золотий перетин в єгиптян. Тому що багато витворів мистецтва Стародавнього Єгипту чітко побудовані за канонами цієї пропорції.

Вважається, що першим запровадив поняття золотого перерізу Піфагор. До наших днів дійшли праці Евкліда (він за допомогою золотого перетину будував правильні п'ятикутники, саме тому такий п'ятикутник названий «золотим»), а число золотого перетину названо на честь давньогрецького архітектора Фідія. Тобто, це у нас число «фі» (позначається грецькою літерою φ), і воно дорівнює 1.6180339887498948482… Природно, це значення округляють: φ = 1,618 або φ = 1,62, а у відсотковому співвідношенні золотий перетин виглядає, як 38%.

У чому ж унікальність цієї пропорції (а вона, повірте, є)? Давайте спочатку спробуємо розібратися на прикладі відрізка. Отже, беремо відрізок і ділимо його на нерівні частини таким чином, щоб його менша частина відносилася до більшої, як більша до всього. Розумію, не дуже поки ясно, що до чого, спробую проілюструвати наочніше на прикладі відрізків:

Отже, беремо відрізок і ділимо його на два інші, таким чином, щоб менший відрізок а, ставився до більшого відрізка b, так само, як і відрізок b відноситься до цілого, тобто до всієї лінії (a + b). Математично це виглядає так:

Це правило працює нескінченно, ви можете ділити відрізки скільки завгодно довго. І бачите, як це просто. Головне один раз зрозуміти і все.

Але тепер розглянемо складніший приклад, який трапляється дуже часто, тому що золотий переріз ще представляють у вигляді золотого прямокутника (співвідношення сторін якого φ = 1,62). Це дуже цікавий прямокутник: якщо від нього «відрізати» квадрат, ми знову отримаємо золотий прямокутник. І так багато разів. Дивіться:

Але математика була б математикою, якби у ній був формул. Тож, друзі, зараз буде трішки «боляче». Вирішення золотої пропорції сховала під спойлер, дуже багато формул, але без них не хочу залишати статтю.

Ряд Фібоначчі та золотий перетин

Продовжуємо творити та спостерігати за магією математики та золотого перетину. У середні віки був такий товариш – Фібоначчі (або Фібоначі, скрізь по-різному пишуть). Любив математику і завдання, була в нього і цікаве завдання з розмноженням кроликів =) Але не в цьому суть. Він відкрив числову послідовність, числа в ній так і звуться "числа Фібоначчі".

Сама послідовність виглядає так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... і далі до нескінченності.

Якщо словами, то послідовність Фібоначчі - це така послідовність чисел, де кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.

До чого тут золотий перетин? Зараз побачите.

Спіраль Фібоначчі

Щоб побачити і відчути зв'язок числового ряду Фібоначчі та золотого перерізу, потрібно знову поглянути на формули.

Іншими словами, з 9-го члена Фібоначчі послідовності ми починаємо отримувати значення золотого перерізу. І якщо візуалізувати всю цю картину, ми побачимо, як послідовність Фібоначчі створює прямокутники все ближче і ближче до золотого прямокутника. Ось такий зв'язок.

Тепер поговоримо про спіраль Фібоначчі, її ще називають «золотою спіраллю».

Золота спіраль - логарифмічна спіраль, коефіцієнт зростання якої дорівнює φ4 де φ - золотий перетин.

Загалом і загалом, з погляду математики, золотий перетин - ідеальна пропорція. Але на цьому її чудеса лише починаються. Принципам золотого перерізу майже весь світ, цю пропорцію створила сама природа. Навіть езотерики, і ті, бачать у ній числову міць. Але про це точно не в цій статті говоритимемо, тому щоб нічого не пропустити, можете підписатися на оновлення сайту.

Золотий перетин у природі, людині, мистецтві

Перш ніж ми почнемо, хотілося б уточнити низку неточностей. По-перше, саме визначення золотого перерізу в даному контексті не зовсім правильне. Справа в тому, що саме поняття «перетин» - це термін геометричний, що завжди означає площину, але ніяк не послідовність чисел Фібоначчі.

І, по-друге, числовий ряд і співвідношення одного до іншого, звичайно, перетворили на трафарет, який можна накладати на все, що здається підозрілим, і дуже радіти, коли є збіги, але все ж таки, здоровий глузд втрачати не варто.

Однак «все змішалося в нашому королівстві» і одне стало синонімом іншого. Тож загалом і в цілому сенс від цього не загубився. А тепер до діла.

Ви здивуєтеся, але золотий перетин, точніше пропорції максимально наближені до нього, можна побачити практично скрізь, навіть у дзеркалі. Не вірите? Давайте з цього й почнемо.

Знаєте, коли я вчилася малювати, то нам пояснювали, як простіше будувати обличчя людини, її тіло та інше. Все треба розраховувати щодо чогось іншого.

Все, абсолютно все пропорційно: кістки, наші пальці, долоні, відстані на обличчі, відстань витягнутих рук до тіла і так далі. Але навіть це не все, внутрішня будова нашого організму, навіть вона прирівнюється або майже прирівнюється до золотої формули перерізу. Ось які відстані та пропорції:

від плечей до верхівки до розміру голови = 1:1.618

від пупка до верхівки до відрізка від плечей до верхівки = 1:1.618

від пупка до колін і від колін до ступнів = 1:1.618

від підборіддя до крайньої точки верхньої губи та від неї до носа = 1:1.618

Хіба це не дивно! Гармонія у чистому вигляді, як усередині, так і зовні. І саме тому, на якомусь підсвідомому рівні, деякі люди не здаються нам красивими, навіть якщо у них міцне підтягнуте тіло, оксамитова шкіра, красиве волосся, очі та інше і все інше. Але, все одно, найменше порушень пропорцій тіла, і зовнішність вже трохи «ріже очі».

Коротше кажучи, чим красивіша здається нам людина, тим ближче її пропорції до ідеальних. І це, до речі, не лише до людського тіла можна зарахувати.

Золотий переріз у природі та її явищах

Класичним прикладом золотого перерізу в природі є раковина молюска Nautilus pompilius та амоніту. Але це далеко не все, є ще багато прикладів:

у завитках людського вуха ми можемо побачити золоту спіраль;

її ж (або наближену до неї) у спіралях, якими закручуються галактики;

та в молекулі ДНК;

по ряду Фібоначчі влаштований центр соняшника, ростуть шишки, середина квітів, ананас та багато інших плодів.

Друзі, прикладів настільки багато, що я просто залишу відеоролик (він трохи нижче), щоб не перевантажувати текстом статтю. Тому що, якщо цю тему копати, то можна заглибитися в такі нетрі: ще давні греки доводили, що Всесвіт і взагалі весь простір - сплановано за принципом золотого перетину.

Ви здивуєтеся, але ці правила можна знайти навіть у звуці. Дивіться:

Найвища точка звуку, що викликає біль та дискомфорт у наших вухах, дорівнює 130 децибелам.

Ділимо пропорцією 130 на число золотого перерізу = 1,62 і отримуємо 80 децибел - звук людського крику.

Продовжуємо пропорційно ділити і отримуємо, скажімо так, нормальну гучність людської мови: 80/φ = 50 децибелів.

Ну а останній звук, який отримаємо завдяки формулі – приємний звук шепоту = 2,618.

За цим принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне та максимальне число температури, тиску, вологості. Я не перевіряла і не знаю, наскільки ця теорія вірна, але, погодьтеся, звучить вражаюче.

Абсолютно у всьому живому та не живому можна прочитати найвищу красу та гармонію.

Головне, тільки не захоплюватися цим, адже якщо ми хочемо щось побачити, то побачимо, навіть якщо цього там немає. Ось я, наприклад, звернула увагу на дизайн PS4 і побачила там золотий переріз =) Втім, ця консоль настільки класна, що не здивуюся, якщо дизайнер, і справді, щось там мудрував.

Золотий перетин у мистецтві

Також дуже велика і велика тема, яку варто розглянути окремо. Тут лише відзначу кілька базових моментів. Найпримітніше, що багато витворів мистецтва та архітектурні шедеври давнини (і не тільки) зроблені за принципами золотого перетину.

Єгипетські та піраміди Майя, Нотр-Дам де Парі, грецький Парфенон і так далі.

У музичних творах Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха та інших.

У живопису (там це видно): всі найвідоміші картини відомих художників зроблені з урахуванням правил золотого перетину.

Ці принципи можна зустріти й у віршах Пушкіна, й у бюсті красуні Нефертіті.

Навіть зараз правила золотої пропорції використовуються, наприклад, у фотографії. Ну, і звичайно, у всьому іншому мистецтві, включаючи кінематограф та дизайн.

Золоті котики Фібоначчі

Ну і, нарешті, про котиків! Ви замислювалися над тим, чому всі так люблять котейок? Адже вони заполонили Інтернет! Котики скрізь і це чудово =)

А вся річ у тому, що кішки – ідеальні! Не вірите? Зараз доведу вам це математично!

Бачите? Таємниця розкрита! Котейки ідеальні з точки зору математики, природи та Всесвіту =)

* Я жартую звичайно. Ні, кішки дійсно ідеальні) Але математично їх ніхто не вимірював, напевно.

На цьому, загалом, усі, друзі! Ми побачимось у наступних статтях. Удачі вам!

PS.Зображення взято із сайту medium.com.

Реферат виконала учениця 8 класу МОУ гімназія №9 В'юшина Вероніка

Єкатеринбург

1. Введення. Пропорція золотого перерізу. Ф та φ.

"Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні"

Йоганн Кеплер

Правильні багатокутники привертали увагу давньогрецьких вчених ще задовго і Архімеда. Піфагорійці, які вибрали емблемою свого союзу пентаграму - п'ятикутну зірку, надавали дуже великого значення задачі про розподіл кола на рівні частини, тобто про побудову правильного вписаного багатокутника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), що став уособленням Відродження в Німеччині наводить теоретично точний спосіб побудови правильного п'ятикутника, запозичений з великого твору Птолемея "Альмагест".

Інтерес Дюрера до побудови правильних багатокутників відображає використання їх у Середні віки в арабських та готичних орнаментах, а після винаходу вогнепальної зброї – у плануванні фортець.

Середньовічні способи побудови правильних багатокутників мали наближений характер, але були (або не могли не бути) простими: перевага віддавалася способам побудови, що не вимагають навіть змінювати розчин циркуля. Леонардо да Вінчі також багато писав багатокутників, але саме Дюрер, а чи не Леонардо, передав середньовічні способи побудови нащадкам. Дюрер, звичайно, був знайомий з "Початками" Евкліда, але не привів у своєму "Посібнику до вимірювання" (про побудови за допомогою циркуля та лінійки) запропонований Евклідом спосіб побудови правильного п'ятикутника, теоретично точний, як і всі евклідові побудови. Евклід не намагається розділити задану дугу кола на три рівні частини, і Дюрер знав, хоча доказ було знайдено лише у ХІХ столітті, що це завдання нерозв'язне.

Запропонована Евклідом побудова правильного п'ятикутника включає розподіл відрізка прямий в середньому і крайньому відношенні, назване згодом золотим перетином і привертали до себе увагу художників і архітекторів протягом кількох століть.

Точка В ділить відрізок АВЕ в середньому та крайньому відношенні або утворює золотий переріз, якщо відношення більшої частини відрізка до меншої дорівнює відношенню всього відрізка до більшої частини.

Записаний у вигляді рівності відносин золотий переріз має вигляд

АВ/ВЕ = АВ/АЕ

Якщо покласти АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, щоб золоте відношення дорівнювало АВ/ВЕ=Ф, то виходить співвідношення

Тобто Ф задовольняє рівняння

Це рівняння має один позитивний корінь

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Зауважимо, що 1/Ф = (√5 -1)/2, оскільки (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф заведено вважати φ=0.618034….

Ф і φ - велика і мала форма грецької літери "фі".

Таке позначення прийнято на честь давньогрецького скульптора Фідія (V століття е.) Фідій керував будівництвом храму Парфенон в Афінах. У пропорціях цього храму багато разів є число φ.

2. Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамсеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки ж були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог "Тімей" присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. Відношення висоти будівлі до її довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенону за «золотим перерізом», то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в "Початках" Евкліда. У 2-й книзі "Початок" дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених та художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо да Вінчі, художник та вчений, бачив, що в італійських художниках великий емпіричний досвід, але брак знань. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, зважаючи на те, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її "божественну суть" як вираз божественного триєдності: бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок – бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише: "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити".

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Геометрія володіє двома скарбами: один з них - це теорема Піфагора, а інше - поділ відрізка в середньому та крайньому відношенні. Перше можна порівняти із мірою золота; друге ж більше нагадує дорогоцінний камінь.

І. Кеплер

А чи знаєте ви, що йдучи до школи чи на роботу, слухаючи музику, займаючись домашнім господарством, відпочиваючи у відпустці на морі або підписуючи ділові контракти, ми постійно стикаємося з прикладами золотого перетину. Рослини, тварини, посуд та навіть деякі літери побудовані за принципом золотого перетину. Золотий переріз виявлено навіть у молекулі ДНК.

Я хотіла б познайомити вас з цим неймовірним, на мій погляд, явищем ближче і розповісти конкретно, де і як ми з ним стикаємося і в чому застосовуємо.

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н. е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу. Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Що таке золотий переріз, застосування золотого перерізу математики.

Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього: b = b: c або с: b = b: а.

Побудувати таку пропорцію можна так:

З точки В відновлюємо перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Точка С, що утворилася, з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладаємо відрізок ВС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е поділяє відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням: x * x - x - 1 = 0.

Розв'язання цього рівняння:

У природі також було відкрито другий золотий перетин, який випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44:56. Ця пропорція була виявлена ​​в архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Даний відрізок АВ ділимо у пропорції золотого перерізу. З точки Відновлюємо перпендикуляр СD. Радіусом АВ знаходимо точку D, потім з'єднуємо її лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділимо навпіл. З точки З проводимо лінію до перетину з АD. Отриману точку назвемо буквою Е, яка і ділить відрізок АD щодо 44:56.

На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Якщо в "золотому прямокутнику" ABCD вичленувати квадрат AEFD, то частина EBCF, виявляється, є новим "золотим прямокутником", який знову може бути розділений на квадрат GHCF і менший "золотий прямокутник" EBHG. Повторюючи багаторазово цю процедуру, ми отримаємо нескінченну послідовність квадратів і золотих прямокутників, які сходяться до точки O. Зауважимо, що таке нескінченне повторення одних і тих же геометричних фігур, тобто квадрата і золотого прямокутника, викликає у нас неусвідомлене естетичне почуття ритму і гармонії. Вважається, що саме ця обставина є причиною того, що багато предметів прямокутної форми, з якими людина має справу (сірникові коробки, запальнички, книги, валізи), часто мають форму золотого прямокутника. Наприклад, ми широко користуємося кредитними картками у нашому повсякденному житті, але не звертаємо увагу на те, що в багатьох випадках кредитні картки мають форму золотого прямокутника.

Золотий прямокутник і кредитної картки

Пентаграма та «Пентагон»

Якщо у пентаграмі провести всі діагоналі, то в результаті ми отримаємо добре відому нам п'ятикутну зірку. Доведено, що точки перетину діагоналей у пентаграмі є точками золотого перерізу діагоналей. При цьому ці точки утворюють нову пентаграму FGHKL. У новій пентаграмі можна провести діагоналі, перетин яких утворюють ще одну пентаграму, і цей процес може бути продовжений до нескінченності. Таким чином, пентаграма ABCDE складається з нескінченного числа пентаграм, які щоразу утворюються точками перетину діагоналей. Ця нескінченна повторюваність однієї і тієї ж геометричної фігури створює почуття ритму та гармонії, яке неусвідомлено фіксується нашим розумом. Пентаграма викликала особливе захоплення піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми та отримала назву «Пентагон», що означає правильний п'ятикутник.

Отже, я розповіла, що такий золотий перетин, а тепер, оскільки моя доповідь присвячена застосуванню золотого перетину, то я зараз про це розповім.

Завдання про кроликів. Числа Фібоначчі.

ЗАВДАННЯ ПРО КРОЛИКІВ

Хтось помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує ін. пару, а народжують кролики з другого місяця після народження.

Зрозуміло, що якщо вважати першу пару кроликів новонародженими, то на другий місяць ми як і раніше матимемо одну пару; на 3-й місяць – 1+1=2; на 4-й місяць - 2+1=3 пари (бо двох наявних пар потомство дає лише одне пара); на 5-й місяць - 3+2=5 пар (лише 2 пари, що народилися на 3-й місяць, дадуть потомство на 5-й місяць); на 6-й місяць - 5+3=8 пар (бо нащадки дадуть ті пари, які народилися на 4-му місяці) тощо.

З цього завдання було відкриття деякого ряду послідовності натуральних чисел кожен член, якій, починаючи з третього дорівнює сумі двох попередніх членів: Uk = 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,. Така послідовність отримала назву Послідовність Фібоначчі, а її члени числами Фібоначчі. Ставлення наступного члена ряду до попереднього прагне коефіцієнту золотого перерізу

В алгебрі загальноприйнято його позначення грецькою літерою фі

Золотий перетин не оминув і людину

Золотий перетин є основою побудови гармонійних форм, оскільки є абсолютним законом формоутворення у природі, частиною якої ми є. Закони гармонії є числові закони.

Моделюючи звичайну людину, ми, швидше за все, не беремо лінійку і калькулятор, вираховувати золоті пропорції. Ми просто інтуїтивно відчуваємо ці форми, бо форми людської істоти трапляються нам на очі частіше, ніж будь-що інше, але створюючи модель незвичайної істоти, рослини, споруди, нам варто використовувати знання геометрії та золотого перерізу, щоб на результат роботи можна було дивитися без огиди, хоча якщо ви домагаєтеся почуття огиди, то ви знаєте, що ви повинні робити.

У будь-якому випадку, знання законів природи (числових законів), допомагає нам якнайшвидше досягти бажаного результату.

Німецький професор Цейзинг у середині 18 століття проробив величезну роботу: він виміряв понад 2000 тіл і висловив припущення, що золотий перетин висловлює середньостатистичний закон: розподіл тіла точкою пупа – одне із основних показників золотого перетину. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла – довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.

у маленьких дітей (близько року) пропорція становить відношення 1:1.

Нещодавно наш сучасник, американський хірург Стівен Маркварт створив, використовуючи принцип "золотого перерізу", геометричну маску, яка може бути еталоном прекрасної особи. Щоб дізнатися, чи відповідає обличчя ідеалу, достатньо копіювати маску на прозору плівку і накласти її на фотографію відповідного розміру.

Так, розділивши щодо "золотого перерізу" відрізок, укладений між маківкою та адамовим яблуком, ми отримаємо точку, що лежить на лінії брів (В). При подальшому золотому розподілі частин, що утворилися, отримаємо послідовно кінчик носа (С), кінець підборіддя (D).

Золотий перетин у вусі людини.

У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea ("Равлик"), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця костевидна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73 43 '.

Якщо золотий перетин торкнувся людини, то скажу, що він присутній навіть у будові молекули ДНК.

Усі відомості про фізіологічні особливості живих істот зберігаються в мікроскопічній молекулі ДНК, будова якої також містить закон золотої пропорції. Молекула ДНК і двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстреми, ширина 21 ангстреми. (1 ангстрем – одна стомільйонна частка сантиметра). Так ось 21 і 34 - це цифри, що йдуть один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини та ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перерізу 1:1,618.

Кожен із нас хоч раз у своєму житті та був на морі і тримав у своїх руках черепашку спіралеподібної форми. Ну так от: така раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Золотий перетин у живописі та фотографії.

У фотографії

Коли ми хочемо зробити гарний знімок, то часто помічаємо, що не вміємо розставляти об'єкти подумки так, щоб вони потім виглядали на готовій фотографії в найкращому вигляді. У цьому нам може допомогти правило золотого перерізу. За допомогою горизонтальних і вертикальних ліній ми ділимо видошукач на дев'ять однакових секторів. Чотири центральні точки перетину горизонтальних та вертикальних ліній і будуть для нас ключовими.

Практичне використання правила "Золотого перерізу" при компонуванні кадру.

Нижче наведено різні варіанти сіток, створених на базі за правилом "Злотого перерізу", для різних композиційних варіантів. Для того щоб зрозуміти принципи необхідно самостійно експериментально, спробувати, поєднати сітки з вашими фотографіями. Базові сітки виглядають так:

Ось фото кота, який розташований у довільному місці кадру.

Тепер умовно поділимо кадр на відрізки, пропорції по 1. 62 загальної довжини від кожної сторони кадру. У місцях перетину відрізків будуть основні "зорові центри", в яких варто розмістити необхідні ключові елементи зображення.

Перенесемо нашого кота у точки "зорових центрів".

Отак тепер виглядає композиція. Щоправда, набагато краще?

Для того щоб зрозуміти суть золотого перерізу, спробуйте самі зробити кілька фотографій людини, яка сидить на лавці. Переконайтеся, що найбільш гармонійною вийде фотографія, на якій людина сидить не в центрі і не з краю, а в точці, що відповідає золотому перерізу (що ділиться лавку приблизно у співвідношенні 2:3).

У живописі

Майстри Стародавньої Греції, які вміли свідомо користуватися золотою пропорцією, що, по суті, дуже просто, вміло застосовували її гармонійні величини у всіх видах мистецтва і досягли такої досконалості будови форм, які висловлюють їх суспільні ідеали, яка рідко зустрічається у практиці світового мистецтва. Уся антична культура пройшла під знаком золотої пропорції. Знали цю пропорцію і у Стародавньому Єгипті. Я покажу це на прикладі таких художників як: Рафаель, Леонардо да Вінчі, Боттічеллі, Шишкін.

На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає його до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескіз. Якщо природно з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить. Золота спіраль! Це можна перевірити: вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, які проходять через початок кривої. «Побиття немовлят» Рафаель

У знаменитій фресці "Афінська школа", де в храмі науки належить суспільство великих філософів давнини, нашу увагу привертає група Евкліда - найбільшого давньогрецького математика, який розбирає складне креслення. Хитромудра комбінація двох трикутників також побудована відповідно до пропорції золотого перерізу: вона може бути вписана в прямокутник із співвідношенням сторін 5/8. Цей креслення напрочуд легко вставляється у верхню ділянку архітектури. Верхній кут трикутника упирається в замковий камінь арки на ближньому до глядача ділянці, нижній - у точку сходження перспектив, а бічна ділянка означає пропорції просторового розриву між двома частинами арок.

Леонардо Да Вінчі

Портрет Мони Лізи (Джоконда) Леонардо да Вінчі приваблює тим, що композиція малюнка побудована на "золотих трикутниках", точніше на трикутниках, що є шматками правильного п'ятикутника.

"Таємна вечеря" - найзріліший і закінчений твір Леонардо. У цьому розписі майстер уникає всього того, що могло б затемнити основний хід зображеного ним дії, він домагається рідкісної переконливості композиційного рішення. У центрі він поміщає постать Христа, виділяючи її просвітом дверей. Апостолів він свідомо відсуває від Христа, щоб ще більше наголосити на його місці в композиції. Зрештою, у цих цілях він змушує сходитися всі перспективні лінії в точці, безпосередньо розташованої над головою Христа. Учнів Леонардо розбиває на чотири симетричні групи, сповнені життя та руху. Стіл він робить невеликим, а трапезну – строгий і простий. Це дає йому можливість зосередити увагу глядача на фігурах, що мають величезну пластичну силу. У всіх цих прийомах дається взнаки глибока цілеспрямованість творчого задуму, в якому все зважено і враховано. "

Боттічеллі - "Народження Венери"

На картині зображено не саме народження богині, а той момент, коли вона, гнана диханням геніїв повітря, досягає берега, де її зустрічає одна з грацій. Згідно з найдавнішим грецьким поетом Гесіодом ("Теогонія", 188-200), Венера народилася з моря - з піни, яку виробили геніталії обкопаного Урану (САТУРН), викинуті у воду Кроном. Вона пливе до берега в розкритій раковині, що підганяється м'яким подихом вітру, і, нарешті, причалює на Пафосі (на Кіпрі) - одному з головних місць шанування її, культу в античності. Її грецьке ім'я Афродіта, можливо, походить від aphros, що означає "піна".

Біля острова Кіфери народилася Афродіта, дочка Урана, з білої піни морських хвиль. Легкий, лагідний вітерець приніс її на острів Кіпр. Там оточили юні Ори богиню кохання, що вийшла з морських хвиль. Вони одягли її в золотатканий одяг і увінчали вінком із запашних квітів. Де тільки не ступала Афродіта, там пишно розросталися квіти. Все повітря сповнене пахощами. Ерот і Гімерот повели чудову богиню на Олімп. Гучно вітали її боги. З того часу завжди живе серед богів Олімпу золота Афродіта, вічно юна, найпрекрасніша з богинь.

На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен - за бажання можна з успіхом продовжити поділ картини по золотому перетину і далі.

Наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей, що ділять її щодо золотого перетину, надає їй характеру врівноваженості та спокою, відповідно до задуму художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з дією, що бурхливо розвивається, подібна геометрична схема композиції (з переважанням вертикалей і горизонталів) стає неприйнятною.

Золотий перетин в архітектурі

Архітектура – ​​це здатність нашої свідомості закріплювати у матеріальних формах почуття доби. Ле Корбюзьє

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.).

На малюнку видно низку закономірностей, що з коефіцієнтом золотого перерізу.

На плані статі Парфенона можна помітити " золоті прямокутники " :

У пропорціях будівлі собору Паризької Богоматері ми також бачимо золоту пропорцію.

М. Козаков використовував «золотий перетин» досить широко у творчості.

Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився у численних здійснених проектах житлових будинків та садиб. Наприклад, «золотий перетин» можна знайти в архітектурі будівлі сенату в Кремлі.

Багато античних скульпторів користувалися правилом золотої пропорції під час зведення своїх творів.

Розглянемо це з прикладу статуї Аполлона Бельведерського: пупкова лінія ділить зростання зображеного людини щодо золотої пропорції.

І ще кілька прикладів на доказ того, що золотий перетин ми спостерігаємо й у скульптурі.

Доріфор Поліклета та його гармонійний аналіз

Венера Мілоська та її гармонійний аналіз

Давид Мікеланджело

6. Золота пропорція у живій природі

Все у світі пов'язане в єдиний початок:

У рух хвиль - шекспірівський сонет,

У симетрії квітки - основи світобудови,

А в співі птахів - симфонія планет.

Жива природа у своєму розвитку прагнула найбільш гармонійної організації, критерієм якої є золота пропорція, виявляючись найрізноманітніших рівнях - від атомних поєднань до будови тіл вищих тварин.

Квітки та насіння соняшника, ромашки, лусочки в плодах ананаса, хвойних шишках "упаковані" по логарифмічних спіралях, що завиваються назустріч один одному. Причому числа "правих" і "лівих" спіралей завжди ставляться один до одного, як сусідні числа Фібоначчі.

У формулах листорозташування (філлотаксис) багатьох рослин зустрічаються числа Фібоначчі, розташовані строго закономірно - через одне, наприклад, ліщина -1/3, дуб, вишня - 2/5, обліпиха-5/13

Розглянемо втечу цикорію. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид.

Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 тощо. буд. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотий пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Багато метеликів та інших комах не уникли зіткнення з цим чудовим, на мій погляд, явищем золотого перетину. Співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто їй розвести крила, і ви побачите все той же принцип розподілу тіла на 2,3,5,8. Бабка також створена за законами золотої пропорції: відношення довжин хвоста і корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

Сніжинки є водними кристалами, які доступні нашому неозброєному оку. Вони неймовірно красиві і різні за формою, але їх складові є геометричними фігурами, і так само без винятку побудовані за принципом золотої пропорції.

Золотий перетин торкнувся навіть поезії та музики.

У поезії

У будові кожного вірша ми можемо помітити певні закономірності, отже, і золота пропорція і числа Фібоначчі. У кожному другому вірші А. С. Пушкіна є зразок (патерн) золотого перерізу. А зразок (патерн) дзеркальної симетрії – у кожному третьому. Один із двох патернів виявляється у двох із трьох віршів (524 або 66%), а обидва патерни - у кожному п'ятому вірші (150 або 19%).

Головними функціями золотого перерізу у творчості Пушкіна є:

}